Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Дано неравенство: $\log _{2}^{2} ( 25 - x^{2} ) - 7 \log _{2} ( 25 - x^{2} ) + 12 \geq 0$.
Для упрощения введем новую переменную, пусть $t = \log _{2} (25 - x^{2})$.
Тогда исходное выражение примет вид квадратного неравенства:
$t^{2} - 7t + 12 \geq 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $t^{2} - 7t + 12 = 0$. По теореме Виета:
$t_{1} + t_{2} = 7$,
$t_{1} \cdot t_{2} = 12$.
Откуда получаем значения $t_{1} = 3$ и $t_{2} = 4$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма:
$25 - x^{2} > 0 \Rightarrow (5 - x)(5 + x) > 0$.
Следовательно, $x \in (-5; 5)$.
Вернемся к основной переменной, учитывая решение для $t$:
$\left[\begin{matrix} t \leq 3 \\ t \geq 4 \end{matrix}\right.$
Подставим логарифмическое выражение обратно:
$\left[\begin{matrix} \log _{2} (25 - x^{2}) \leq 3 \\ \log _{2} (25 - x^{2}) \geq 4 \end{matrix}\right.$
Так как основание логарифма $2 > 1$, переходим к потенцированию с сохранением знака:
$\left[\begin{matrix} 25 - x^{2} \leq 2^3 \\ 25 - x^{2} \geq 2^4 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} 25 - x^{2} \leq 8 \\ 25 - x^{2} \geq 16 \end{matrix}\right.$
Преобразуем неравенства относительно $x^2$:
$\left[\begin{matrix} x^{2} \geq 17 \\ x^{2} \leq 9 \end{matrix}\right.$

Решением данной совокупности являются промежутки:
$\left[\begin{matrix} x \in (-\infty; -\sqrt{17}] \cup [\sqrt{17}; +\infty) \\ x \in [-3; 3] \end{matrix}\right.$
Теперь найдем пересечение полученных интервалов с условием ОДЗ $x \in (-5; 5)$:

Ответ: $(-5; -\sqrt{17}] \cup [-3; 3] \cup [\sqrt{17}; 5)$

Источник: ФИПИ