Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Исходное неравенство: $2 \log _{2} ( x \sqrt{5} ) - \log _{2} \left(\frac{x}{1 - x}\right) \leq \log _{2} \left(5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2\right)$.
Воспользуемся свойствами логарифмов: внесем коэффициент перед первым логарифмом в показатель степени аргумента:
$\log _{2} ( x \sqrt{5} )^{2} - \log _{2} \left(\frac{x}{1 - x}\right) \leq \log _{2} \left(5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2\right)$.
Применим формулу разности логарифмов (логарифм частного):
$\log _{2} \frac{5 x^{2} \cdot (1 - x)}{x} \leq \log _{2} \left(5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2\right)$.
Поскольку основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется.
Учтем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x \sqrt{5} > 0 \\ \frac{x}{1 - x} > 0 \\ 5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2 > 0 \end{cases}$
Перейдем к сравнению аргументов, предварительно приведя правую часть к общему знаменателю:
$\frac{5 x^{2} (1 - x)}{x} \leq \frac{5 x^{3} - 2 x + 1}{x}$.
Из первых двух условий системы ограничений следует, что $x > 0$ и $x \in (0; 1)$.
Так как на рассматриваемом промежутке $x > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $x$ без смены знака:
$5 x^{2} - 5 x^{3} \leq 5 x^{3} - 2 x + 1$.
Перенесем все слагаемые в правую часть:
$10 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$.
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$5 x^{2} (2 x - 1) - (2 x - 1) \geq 0$,
$(2 x - 1) (5 x^{2} - 1) \geq 0$.
Определим корни уравнения для расстановки знаков на числовой прямой:
$2 x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$;
$5 x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = \frac{1}{5} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Распределим знаки на интервалах:

Решением данного рационального неравенства является множество: $x \in \left[- \frac{1}{\sqrt{5}} ; \frac{1}{\sqrt{5}}\right] \cup \left[\frac{1}{2} ; + \infty\right)$.
Теперь найдем пересечение полученного решения с условиями ОДЗ ($0 < x < 1$):

Ответ: $( 0 ; \frac{1}{\sqrt{5}} ] \cup [ \frac{1}{2} ; 1 )$

Источник: ФИПИ