Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Исходное неравенство: $\frac{\log _{2} x^{2} - \log _{3} x^{2}}{\log _{6}^{2} ( 2 x^{2} - 10 x + 12{,}5 ) + 1} \geq 0$
Преобразуем числитель, используя свойства степени логарифма, и представим десятичную дробь в знаменателе в виде обыкновенной:
$\frac{2 \log _{2} |x| - 2 \log _{3} |x|}{\log _{6}^{2} ( 2 x^{2} - 10 x + \frac{25}{2} ) + 1} \geq 0$
Вынесем общий множитель в числителе:
$\frac{2 ( \log _{2} |x| - \log _{3} |x| )}{\log _{6}^{2} ( 2 x^{2} - 10 x + \frac{25}{2} ) + 1} \geq 0$
Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x^{2} > 0 \\ 2 x^{2} - 10 x + 12{,}5 > 0 \end{cases}$
Также учтем, что знаменатель не может быть равен нулю: $\log _{6}^{2} ( 2 x^{2} - 10 x + 12{,}5 ) + 1 \neq 0$.
Второе неравенство системы можно переписать как $2(x^2 - 5x + 6{,}25) > 0$, что эквивалентно $2(x - 2{,}5)^2 > 0$. Это верно при всех $x \neq 2{,}5$.
Таким образом, ограничения для переменной: $x \in \mathbb{R}$, при этом $x \neq 0$ и $x \neq \frac{5}{2}$.
Проанализируем знаменатель дроби: выражение $\log _{6}^{2} ( \dots )$ всегда неотрицательно, а при добавлении единицы оно становится строго положительным при любых допустимых значениях $x$. Следовательно, знак всей дроби зависит только от числителя:
$2 (\log _{2} |x| - \log _{3} |x|) \geq 0$
Разделим на 2 и приведем логарифмы к одному основанию:
$\log _{2} |x| - \frac{\log _{2} |x|}{\log _{2} 3} \geq 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{\log _{2} 3 \cdot \log _{2} |x| - \log _{2} |x|}{\log _{2} 3} \geq 0$
Вынесем $\log _{2} |x|$ за скобки:
$\frac{\log _{2} |x| (\log _{2} 3 - 1)}{\log _{2} 3} \geq 0$
Так как $\log _{2} 3 > 1$, то множитель $(\log _{2} 3 - 1)$ положителен. Знаменатель $\log _{2} 3$ также больше нуля. Значит:
$\log _{2} |x| \geq 0$
Отсюда следует: $|x| \geq 1$.
Раскроем модуль:
1) Если $x > 0$, то $x \geq 1$.
2) Если $x < 0$, то $-x \geq 1$, что дает $x \leq -1$.
Получаем объединение промежутков: $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
Теперь сопоставим полученный результат с найденными ранее ограничениями ($x \neq 2{,}5$):

Ответ: $( - \infty ; - 1 ] \cup [ 1 ; \frac{5}{2} ) \cup ( \frac{5}{2} ; + \infty )$

Источник: ФИПИ