Решение:
Рассмотрим исходное логарифмическое неравенство: $$\log _{5} \left(\frac{2}{x} + 2\right) - \log _{5} ( x + 3 ) \leq \log _{5} \left(\frac{x + 6}{x^{2}}\right)$$ Преобразуем выражение в первом логарифме, приведя его к общему знаменателю: $$\log _{5} \left(\frac{2 + 2x}{x}\right) - \log _{5} ( x + 3 ) \leq \log _{5} \left(\frac{x + 6}{x^{2}}\right)$$ Используя свойство разности логарифмов, объединим левую часть: $$\log _{5} \left(\frac{2 + 2x}{x(x + 3)}\right) \leq \log _{5} \left(\frac{x + 6}{x^{2}}\right)$$ Поскольку основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Переходим к сравнению аргументов с сохранением знака неравенства: $$\frac{2 + 2x}{x(x + 3)} \leq \frac{x + 6}{x^{2}}$$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю $x^2(x + 3)$: $$\frac{x(2 + 2x) - (x + 6)(x + 3)}{x^2(x + 3)} \leq 0$$ Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $$\frac{2x + 2x^2 - (x^2 + 3x + 6x + 18)}{x^2(x + 3)} \leq 0$$ $$\frac{x^2 - 7x - 18}{x^2(x + 3)} \leq 0$$ Разложим квадратный трехчлен в числителе на множители: $$\frac{(x + 2)(x - 9)}{x^2(x + 3)} \leq 0$$ Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$, исходя из условия положительности аргументов логарифмов: $$\begin{cases} \frac{2+2x}{x} > 0 \\ x + 3 > 0 \\ \frac{x + 6}{x^2} > 0 \end{cases}$$ Решая данную систему, получаем: $$\begin{cases} x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty) \\ x > -3 \\ x \in (-6; 0) \cup (0; +\infty) \end{cases}$$ Область ограничений: $x \in (-3; -1) \cup (0; +\infty)$.
Решим рациональное неравенство методом интервалов:
Получаем промежутки: $x \in (-\infty; -3) \cup [-2; 0) \cup (0; 9]$.
Теперь найдем пересечение полученного решения с найденными ранее ограничениями:

Ответ: $[-2; -1) \cup (0; 9]$

Источник: ФИПИ