Задание №15 — Рациональные неравенства

Решение:
Для начала преобразуем исходное неравенство: $$\frac{4^{x} - 3 \cdot 2^{x + 1} + 4}{2^{x} - 5} + \frac{3 \cdot 2^{x + 1} - 46}{2^{x} - 8} \leq 2^{x} + 5$$ Используя свойства степеней, запишем $4^x$ как $(2^x)^2$ и $2^{x+1}$ как $2 \cdot 2^x$: $$\frac{(2^{x})^{2} - 6 \cdot 2^{x} + 4}{2^{x} - 5} + \frac{6 \cdot 2^{x} - 46}{2^{x} - 8} \leq 2^{x} + 5$$ Введем вспомогательную переменную, пусть $2^{x} = t$, где $t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t^{2} - 6t + 4}{t - 5} + \frac{6t - 46}{t - 8} - (t + 5) \leq 0$$ Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(t - 5)(t - 8)$: $$\frac{(t - 8)(t^{2} - 6t + 4) + (t - 5)(6t - 46) - (t + 5)(t - 5)(t - 8)}{(t - 5)(t - 8)} \leq 0$$ Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $$\frac{t^3 - 6t^2 + 4t - 8t^2 + 48t - 32 + 6t^2 - 46t - 30t + 230 - (t^2 - 25)(t - 8)}{(t - 5)(t - 8)} \leq 0$$ После упрощения числителя получаем: $$\frac{t - 2}{(t - 5)(t - 8)} \leq 0$$ Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:
Таким образом, переменная $t$ должна удовлетворять условиям: $t \in (-\infty; 2] \cup (5; 8)$. Учитывая, что $t = 2^x > 0$, перейдем к обратной замене: $$\left[ \begin{gathered} 2^x \leq 2 \\ \begin{cases} 2^x > 5 \\ 2^x < 8 \end{cases} \end{gathered} \right.$$ Логарифмируем обе части неравенств по основанию 2: $$\left[ \begin{gathered} x \leq 1 \\ \begin{cases} x > \log_{2} 5 \\ x < 3 \end{cases} \end{gathered} \right.$$ Объединим полученные промежутки для $x$:

Ответ: $(-\infty; 1] \cup (\log_{2} 5; 3)$

Источник: ФИПИ