Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Исходное неравенство: $x^{2} \log _{243} \left(4 - x\right) \leq \log _{3} \left(x^{2} - 8 x + 16\right)$.
Преобразуем правую часть, заметив полный квадрат, а в левой части представим основание логарифма как степень тройки:
$x^{2} \log _{3^{5}} \left(4 - x\right) \leq \log _{3} \left(x - 4\right)^{2}$
Используя свойства логарифма, вынесем показатели степеней за знак логарифма. Учитывая четную степень, в правой части возникнет модуль:
$x^{2} \cdot \frac{1}{5} \log _{3} \left(4 - x\right) \leq 2 \log _{3} |x - 4|$
Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$:
$$\begin{cases} 4 - x > 0 \\ x^2 - 8x + 16 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 4 \\ (x - 4)^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow x < 4.$$ Так как по условию $x < 4$, то выражение под модулем $x - 4$ отрицательно, следовательно, $|x - 4| = 4 - x$. Перепишем неравенство:
$\frac{x^{2}}{5} \log _{3} \left(4 - x\right) \leq 2 \log _{3} \left(4 - x\right)$
Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$\log _{3} \left(4 - x\right) \left(\frac{x^{2}}{5} - 2\right) \leq 0$
Для удобства умножим вторую скобку на положительное число 5 и разложим разность квадратов:
$\log _{3} \left(4 - x\right) (x^2 - 10) \leq 0$
$\log _{3} \left(4 - x\right) (x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \leq 0$
Применим метод рационализации для логарифмического множителя (так как основание $3 > 1$, знак разности $\log_3(4-x) - \log_3 1$ совпадает со знаком $(4-x-1)$):
$(3 - 1)(4 - x - 1)(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \leq 0$
$2(3 - x)(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \leq 0$
Разделим на 2 и решим полученное неравенство методом интервалов:
$(3 - x)(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \leq 0$

Получаем промежутки: $x \in [-\sqrt{10}; 3] \cup [\sqrt{10}; +\infty)$.
Теперь учтем найденное ранее ограничение $x < 4$:

Итоговым решением будет объединение интервалов, удовлетворяющих всем условиям.

Ответ: $[-\sqrt{10}; 3] \cup [\sqrt{10}; 4)$

Источник: ФИПИ