Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $$\log _{5} \left(3 x + 1\right) + \log _{5} \left(\frac{1}{72 x^{2}} + 1\right) \geq \log _{5} \left(\frac{1}{24 x} + 1\right)$$ Используя свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием, преобразуем левую часть: $$\log _{5} \left(\left(3 x + 1\right) \left(\frac{1}{72 x^{2}} + 1\right)\right) \geq \log _{5} \left(\frac{1}{24 x} + 1\right)$$ Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется. При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ):
Ограничения:
$$\begin{cases} 3 x + 1 > 0 \\ \frac{1}{72 x^{2}} + 1 > 0 \\ \frac{1}{24 x} + 1 > 0 \end{cases}$$ Переходим к сравнению аргументов: $$\left(3 x + 1\right) \left(\frac{1}{72 x^{2}} + 1\right) \geq \frac{1}{24 x} + 1$$ Раскроем скобки в левой части выражения: $$\frac{3 x}{72 x^{2}} + 3 x + \frac{1}{72 x^{2}} + 1 \geq \frac{1}{24 x} + 1$$ После сокращения дроби $\frac{3x}{72x^2} = \frac{1}{24x}$ получаем: $$\frac{1}{24 x} + 3 x + \frac{1}{72 x^{2}} + 1 \geq \frac{1}{24 x} + 1$$ Вычтем из обеих частей одинаковые слагаемые $\frac{1}{24x}$ и $1$: $$3 x + \frac{1}{72 x^{2}} \geq 0$$ Вернемся к системе ограничений. Решая её, находим область определения: $$\begin{cases} x > - \frac{1}{3} \\ x \neq 0 \\ x \in (-\infty; - \frac{1}{24}) \cup (0; +\infty) \end{cases}$$ Приведем к общему знаменателю в основном неравенстве: $$\frac{216 x^{3} + 1}{72 x^{2}} \geq 0$$ Результат пересечения условий ОДЗ представлен ниже:

Следовательно, допустимые значения переменной: $x \in \left(- \frac{1}{3} ; - \frac{1}{24}\right) \cup \left(0 ; + \infty\right)$.
Для решения рационального неравенства найдем критические точки (корни числителя и знаменателя):
Числитель: $216 x^{3} + 1 = 0 \Rightarrow x^3 = -\frac{1}{216} \Rightarrow x = - \frac{1}{6}$.
Знаменатель: $72 x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0$.
Определим знаки выражения на интервалах:

Решением данного неравенства является множество: $x \in [ - \frac{1}{6} ; 0 ) \cup \left(0 ; + \infty\right)$.
Теперь найдем пересечение полученного решения с областью ограничений:

Ответ: $[ - \frac{1}{6} ; - \frac{1}{24} ) \cup ( 0 ; + \infty )$

Источник: ФИПИ