Задание №16 — Рациональные неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $\frac{2}{3^{x} + 27} \geq \frac{1}{3^{x} - 27}$.
Для упрощения вычислений введем новую переменную, положив $3^x = t$, где $t > 0$.
Тогда неравенство примет вид:
$\frac{2}{t + 27} \geq \frac{1}{t - 27}$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю:
$\frac{2(t - 27) - (t + 27)}{(t + 27)(t - 27)} \geq 0$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{2t - 54 - t - 27}{(t + 27)(t - 27)} \geq 0$
$\frac{t - 81}{(t + 27)(t - 27)} \geq 0$
Решим полученное рациональное неравенство относительно $t$ методом интервалов:

Согласно распределению знаков на оси, получаем промежутки: $t \in (-27; 27) \cup [81; +\infty)$.
Выполним обратный переход к переменной $x$, учитывая область определения показательной функции:
$\left[\begin{matrix} -27 < 3^x < 27 \\ 3^x \geq 81 \end{matrix}\right.$
Так как $3^x$ всегда принимает только положительные значения, условие $3^x > -27$ выполняется при любых $x \in \mathbb{R}$.
Решим оставшиеся простейшие показательные неравенства:
$\left[\begin{matrix} 3^x < 3^3 \\ 3^x \geq 3^4 \end{matrix}\right.$
Отсюда получаем совокупность для $x$:
$\left[\begin{matrix} x < 3 \\ x \geq 4 \end{matrix}\right.$
Изобразим решение на числовой прямой:

Ответ: $(-\infty; 3) \cup [4; +\infty)$

Источник: ФИПИ