Задание №15 — Рациональные неравенства

Решение:
Исходное неравенство имеет вид:
$$\frac{10^{x} - 25 \cdot 2^{x} - 2 \cdot 5^{x} + 50}{5 x - x^{2} - 4} \geq 0$$ Разложим числитель на множители, представив $10^x$ как $(5 \cdot 2)^x$:
$$\frac{5^{x} \cdot 2^{x} - 25 \cdot 2^{x} - 2 \cdot 5^{x} + 50}{-(x^{2} - 5x + 4)} \geq 0$$ Сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общие множители за скобки:
$$\frac{2^{x} ( 5^{x} - 25 ) - 2 ( 5^{x} - 25 )}{-(x - 1)(x - 4)} \geq 0$$ Получаем произведение скобок в числителе и избавимся от знака «минус» перед знаменателем, сменив знак неравенства:
$$\frac{( 5^{x} - 25 ) ( 2^{x} - 2 )}{(x - 1)(x - 4)} \leq 0$$ Для решения воспользуемся методом рационализации. Заметим, что $25 = 5^2$ и $2 = 2^1$. Тогда разности вида $a^f - a^g$ имеют тот же знак, что и произведение $(a - 1)(f - g)$:
$$\frac{(5 - 1)(x - 2) \cdot (2 - 1)(x - 1)}{(x - 1)(x - 4)} \leq 0$$ Упростим выражение, учитывая, что числовые множители $4$ и $1$ положительны и не влияют на знак:
$$\frac{(x - 2)(x - 1)}{(x - 1)(x - 4)} \leq 0$$ При условии $x \neq 1$ сократим дробь на $(x - 1)$. Решим полученное неравенство методом интервалов:

Анализируя знаки на числовой прямой, получаем промежуток: $x \in [ 2 ; 4 )$.

Ответ: $x \in [ 2 ; 4 )$

Источник: ФИПИ