Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
$\log _{49} (x + 4) + \log _{(x^{2} + 8 x + 16)} \sqrt{7} \leq - \frac{3}{4}$

Для начала преобразуем второе слагаемое $\log _{(x^{2} + 8 x + 16)} \sqrt{7}$, перейдя к новому основанию $49$ по стандартной формуле $\log _{a} b = \frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}$:
$\log _{49} (x + 4) + \frac{\log _{49} \sqrt{7}}{\log _{49} (x^{2} + 8 x + 16)} \leq - \frac{3}{4}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$\left\{\begin{matrix} x + 4 > 0 \\ x^{2} + 8 x + 16 > 0 \\ x^{2} + 8 x + 16 \neq 1 \end{matrix}\right.$

Заметим, что $x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$. Упростим логарифмические выражения, используя свойства степеней:
$\log _{49} (x + 4) + \frac{\log _{7^{2}} (7^{\frac{1}{2}})}{\log _{49} ((x + 4)^{2})} \leq - \frac{3}{4}$
$\log _{49} (x + 4) + \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \log _{7} 7}{2 \log _{49} (|x + 4|)} \leq - \frac{3}{4}$

Учитывая условия ОДЗ:
$\left\{\begin{matrix} x > - 4 \\ (x + 4)^{2} > 0 \\ x^{2} + 8 x + 15 \neq 0 \end{matrix}\right.$
Так как $x > -4$, модуль $|x+4|$ раскрывается со знаком плюс. Получаем:
$\log _{49} (x + 4) + \frac{\frac{1}{4}}{2 \log _{49} (x + 4)} \leq - \frac{3}{4}$
$\log _{49} (x + 4) + \frac{1}{8 \log _{49} (x + 4)} \leq - \frac{3}{4}$

Уточним ограничения для переменной $x$:
$\left\{\begin{matrix} x > - 4 \\ x \neq - 4 \\ x \neq - 5 \\ x \neq - 3 \end{matrix}\right.$

Таким образом, область определения: $x \in (- 4 ; - 3) \cup (- 3 ; + \infty) .$

Введем вспомогательную переменную, пусть $t = \log _{49} (x + 4)$. Неравенство примет вид:
$t + \frac{1}{8 t} \leq - \frac{3}{4}$
$t + \frac{1}{8 t} + \frac{3}{4} \leq 0$
$\frac{8 t^{2} + 6 t + 1}{8 t} \leq 0 .$

Найдем критические точки числителя и знаменателя:
$8 t^{2} + 6 t + 1 = 0 \implies t_{1} = - \frac{1}{2} ; t_{2} = - \frac{1}{4}$
$8 t = 0 \implies t = 0$
Решим неравенство методом интервалов:

Получаем интервалы для $t$: $t \in ( - \infty ; - \frac{1}{2} ] \cup [ - \frac{1}{4} ; 0 ) .$

Перейдем обратно к переменной $x$, составив совокупность систем:
$\left[\begin{matrix} t \leq - \frac{1}{2} \\ \left\{\begin{matrix} t \geq - \frac{1}{4} \\ t < 0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$ $\implies$ $\left[\begin{matrix} \log _{49} (x + 4) \leq - \frac{1}{2} \\ \left\{\begin{matrix} \log _{49} (x + 4) \geq - \frac{1}{4} \\ \log _{49} (x + 4) < 0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

1) Решим первое неравенство с учетом ОДЗ ($x > -4$):
$\log _{49} (x + 4) \leq - \frac{1}{2}$
$x + 4 \leq 49^{- \frac{1}{2}} \implies x + 4 \leq \frac{1}{7}$
$x \leq - \frac{27}{7}$
Следовательно, $x \in ( - 4 ; - \frac{27}{7} ] .$

2) Решим систему неравенств:
Для $\log _{49} (x + 4) \geq - \frac{1}{4}$:
$x + 4 \geq 49^{- \frac{1}{4}} \implies x + 4 \geq (7^2)^{-\frac{1}{4}} \implies x + 4 \geq \frac{1}{\sqrt{7}}$
$x \geq \frac{\sqrt{7}}{7} - 4$.
Для $\log _{49} (x + 4) < 0$:
$x + 4 < 1 \implies x < - 3$.
С учетом $x > -4$, получаем интервал: $x \in [ \frac{\sqrt{7}}{7} - 4 ; - 3 )$.

Проверим положение границ:
$\frac{\sqrt{7}}{7} - 4 > - 4$ (так как $\frac{\sqrt{7}}{7} > 0$);
$\frac{\sqrt{7}}{7} - 4 < - 3$ (так как $\frac{\sqrt{7}}{7} < 1$).

Объединяя результаты и накладывая ограничения ОДЗ:

Ответ: $( - 4 ; - \frac{27}{7} ] \cup [ \frac{\sqrt{7}}{7} - 4 ; - 3 )$

Источник: ФИПИ