Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $\log _{16} (x + 5) + \log _{(x^{2} + 10x + 25)} 2 \geq \frac{3}{4}$.
Заметим, что основание второго логарифма представляет собой полный квадрат: $\log _{16} (x + 5) + \log _{((x + 5)^{2})} 2 \geq \frac{3}{4}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x + 5 > 0 \\ (x + 5)^2 > 0 \\ (x + 5)^2 \neq 1 \end{cases}$
Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$, выбрав в качестве $c$ число $16$:
$\log _{16} (x + 5) + \frac{\log _{16} 2}{\log _{16} (x + 5)^{2}} \geq \frac{3}{4}$

Уточним условия для переменной $x$:
$\begin{cases} x > -5 \\ x \neq -5 \\ x \neq -6 \\ x \neq -4 \end{cases}$
Преобразуем выражение, учитывая, что $\log_{16} 2 = \frac{1}{4}$ и вынося показатель степени из основания логарифма:
$\log _{16} (x + 5) + \frac{1}{4} : (2 \log _{16} (x + 5)) \geq \frac{3}{4}$
После упрощения получаем:
$\log _{16} (x + 5) + \frac{1}{8 \log _{16} (x + 5)} \geq \frac{3}{4}$

С учетом ОДЗ переменная должна принадлежать множеству: $x \in (-5; -4) \cup (-4; +\infty)$.

Для решения введем замену переменной. Пусть $t = \log _{16} (x + 5)$.
Тогда неравенство примет вид:
$t + \frac{1}{8t} \geq \frac{3}{4}$
Перенесем всё в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$t + \frac{1}{8t} - \frac{3}{4} \geq 0$
$\frac{8t^2 - 6t + 1}{8t} \geq 0$

Найдем критические точки, приравняв числитель и знаменатель к нулю:
$8t^2 - 6t + 1 = 0 \Rightarrow t_1 = \frac{1}{4}, t_2 = \frac{1}{2}$
$8t = 0 \Rightarrow t = 0$

Решением относительно $t$ будут промежутки: $t \in (0; \frac{1}{4}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$.

Вернемся к переменной $x$, решив совокупность систем:
$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} t > 0 \\ t \leq \frac{1}{4} \end{cases} \\ t \geq \frac{1}{2} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} \log _{16} (x + 5) > 0 \\ \log _{16} (x + 5) \leq \frac{1}{4} \end{cases} \\ \log _{16} (x + 5) \geq \frac{1}{2} \end{gathered} \right.$

1) $\log _{16} (x + 5) > 0 \Rightarrow x + 5 > 1 \Rightarrow x > -4$
2) $\log _{16} (x + 5) \leq \frac{1}{4} \Rightarrow x + 5 \leq 16^{\frac{1}{4}} \Rightarrow x + 5 \leq 2 \Rightarrow x \leq -3$
3) $\log _{16} (x + 5) \geq \frac{1}{2} \Rightarrow x + 5 \geq 16^{\frac{1}{2}} \Rightarrow x + 5 \geq 4 \Rightarrow x \geq -1$

Объединяя результаты, получаем:
$\left[ \begin{gathered} -4 < x \leq -3 \\ x \geq -1 \end{gathered} \right.$

Таким образом, $x \in (-4; -3] \cup [-1; +\infty)$.
Сопоставим полученные интервалы с областью допустимых значений:

Ответ: $(-4; -3] \cup [-1; +\infty)$

Источник: ФИПИ