Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим неравенство: $\frac{\log _{3} ( 9 x ) \cdot \log _{4} ( 64 x )}{5 x^{2} - | x |} \leq 0$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а знаменатель не может равняться нулю:
$$\begin{cases} 9x > 0 \\ 64x > 0 \\ 5x^2 - |x| \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ |x|(5|x| - 1) \neq 0 \end{cases}$$
Так как $x > 0$, то $|x| = x$. Тогда условие $x(5x - 1) \neq 0$ дает нам $x \neq 0$ и $x \neq \frac{1}{5}$.
Следовательно, ОДЗ: $x \in (0; \frac{1}{5}) \cup (\frac{1}{5}; +\infty)$.

Преобразуем числитель, используя свойства логарифма произведения:
$\log_3(9x) = \log_3 9 + \log_3 x = 2 + \log_3 x$
$\log_4(64x) = \log_4 64 + \log_4 x = 3 + \log_4 x$
Неравенство принимает вид:
$$\frac{(2 + \log_3 x)(3 + \log_4 x)}{5x^2 - |x|} \leq 0$$
Для решения дробно-рационального неравенства рассмотрим два случая (когда знаки числителя и знаменателя противоположны):
1) $\begin{cases} (2 + \log_3 x)(3 + \log_4 x) \leq 0 \\ 5x^2 - |x| > 0 \end{cases}$ или 2) $\begin{cases} (2 + \log_3 x)(3 + \log_4 x) \geq 0 \\ 5x^2 - |x| < 0 \end{cases}$

Разберем первый случай:
Для числителя: произведение неположительно, если множители имеют разные знаки.
$\begin{cases} \log_3 x \leq -2 \\ \log_4 x \geq -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq \frac{1}{9} \\ x \geq \frac{1}{64} \end{cases} \implies x \in [\frac{1}{64}; \frac{1}{9}]$.
Второй вариант знаков в числителе ($\log_3 x \geq -2$ и $\log_4 x \leq -3$) дает пустое множество, так как $x \geq \frac{1}{9}$ и $x \leq \frac{1}{64}$ несовместны.
Для знаменателя при $x > 0$: $5x^2 - x > 0 \implies x(5x - 1) > 0 \implies x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{5}; +\infty)$.
Пересечение условий первой системы: $x \in [\frac{1}{64}; \frac{1}{9}] \cap (\frac{1}{5}; +\infty) = \emptyset$.

Разберем второй случай:
Числитель неотрицателен, если множители одного знака:
$\begin{cases} \log_3 x \geq -2 \\ \log_4 x \geq -3 \end{cases} \implies x \geq \frac{1}{9}$ или $\begin{cases} \log_3 x \leq -2 \\ \log_4 x \leq -3 \end{cases} \implies x \leq \frac{1}{64}$.
С учетом $x > 0$, числитель $\geq 0$ при $x \in (0; \frac{1}{64}] \cup [\frac{1}{9}; +\infty)$.
Знаменатель отрицателен при $x > 0$: $5x^2 - x < 0 \implies x(5x - 1) < 0 \implies x \in (0; \frac{1}{5})$.
Для $x < 0$ знаменатель $5x^2 + x < 0$ дает $x \in (-\frac{1}{5}; 0)$.

Объединяя, получаем интервал для знаменателя: $x \in (-\frac{1}{5}; 0) \cup (0; \frac{1}{5})$.

Объединение результатов:
Нам нужно найти пересечение решений числителя и знаменателя для второй системы:
$$\begin{cases} x \in (-\infty; \frac{1}{64}] \cup [\frac{1}{9}; +\infty) \\ x \in (-\frac{1}{5}; 0) \cup (0; \frac{1}{5}) \end{cases}$$


Получаем: $x \in (-\frac{1}{5}; 0) \cup (0; \frac{1}{64}] \cup [\frac{1}{9}; \frac{1}{5})$.
Наконец, учитывая условие ОДЗ ($x > 0$):
$x \in (0; \frac{1}{64}] \cup [\frac{1}{9}; \frac{1}{5})$.

Ответ: $(0; \frac{1}{64}] \cup [\frac{1}{9}; \frac{1}{5})$

Источник: ФИПИ