Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Показательные уравнения

а) Решите уравнение $27 \cdot 81^{\sin x} - 12 \cdot 9^{\sin x} + 1 = 0 .$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $27 \cdot 81^{\sin x} - 12 \cdot 9^{\sin x} + 1 = 0$ .
Для упрощения введем новую переменную, положив $t = 9^{\sin x}$ . Тогда уравнение примет вид квадратного:
$27 t^{2} - 12 t + 1 = 0$
Найдем корни полученного уравнения через дискриминант или иным способом:
1) Если $t = \frac{1}{9}$ , то возвращаемся к замене:
$9^{\sin x} = 9^{- 1}$
$\sin x = - 1$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi n$ (что эквивалентно $x = \frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n$ ), где $n \in \mathbb{Z}$ .

2) Если $t = \frac{1}{3}$ , то имеем:
$9^{\sin x} = \frac{1}{3}$
$3^{2 \sin x} = 3^{- 1}$
$2 \sin x = - 1$
$\sin x = - \frac{1}{2}$
Откуда получаем две серии решений:
$\left[\begin{matrix} x = \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

б) С помощью единичной окружности выберем корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right]$ .

На указанном промежутке лежат следующие значения:
1) Точка $x = \frac{3 \pi}{2}$ является границей интервала и подходит.
2) Точка из серии $\frac{11 \pi}{6} + 2 \pi n$ : при $n=0$ получаем $2 \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}$ .
Других корней на данном отрезке нет.

Ответ: а) $\frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi n, \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{3 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{6}$

Источник: ФИПИ