Задание №13 — Показательные уравнения

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $27 \cdot 81^{\sin x} - 12 \cdot 9^{\sin x} + 1 = 0$.
Для упрощения введем новую переменную, положив $t = 9^{\sin x}$. Тогда уравнение примет вид квадратного:
$$27 t^{2} - 12 t + 1 = 0$$
Найдем корни полученного уравнения через дискриминант или иным способом:
1) Если $t = \frac{1}{9}$, то возвращаемся к замене:
$9^{\sin x} = 9^{- 1}$
$\sin x = - 1$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi n$ (что эквивалентно $x = \frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Если $t = \frac{1}{3}$, то имеем:
$9^{\sin x} = \frac{1}{3}$
$3^{2 \sin x} = 3^{- 1}$
$2 \sin x = - 1$
$\sin x = - \frac{1}{2}$
Откуда получаем две серии решений:
$\left[\begin{matrix} x = \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

б) С помощью единичной окружности выберем корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right]$.

На указанном промежутке лежат следующие значения:
1) Точка $x = \frac{3 \pi}{2}$ является границей интервала и подходит.
2) Точка из серии $\frac{11 \pi}{6} + 2 \pi n$: при $n=0$ получаем $2 \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}$.
Других корней на данном отрезке нет.

Ответ: а) $\frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi n, \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{3 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{6}$

Источник: ФИПИ