Задание №13 — Показательные уравнения

Решение:
а) Исходное уравнение: $49^{\sin x} = \left(\frac{1}{7}\right)^{- \sqrt{2} \sin 2 x}$.
Приведем обе части уравнения к одному основанию $7$:
$(7^2)^{\sin x} = (7^{-1})^{- \sqrt{2} \sin 2 x}$
$7^{2 \sin x} = 7^{\sqrt{2} \sin 2 x}$
Приравниваем показатели степеней:
$2 \sin x = \sqrt{2} \sin 2 x$
Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, перенесем всё в левую часть:
$2 \sin x - 2\sqrt{2} \sin x \cos x = 0$
Вынесем общий множитель $2 \sin x$ за скобки:
$2 \sin x (1 - \sqrt{2} \cos x) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $2 \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = 0$
Откуда получаем первую серию корней: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $1 - \sqrt{2} \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
После избавления от иррациональности в знаменателе: $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это дает нам еще две серии решений: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) С помощью тригонометрической окружности выберем корни, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right]$.

На указанном промежутке лежат следующие точки:
— Из серии $\pi n$: это значения $2\pi$ и $3\pi$.
— Из серии $\pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n$: значению в первой четверти соответствует $2 \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9 \pi}{4}$. Точка из четвертой четверти в данный отрезок не попадает.
Ответ: а) $\pi n, n \in \mathbb{Z}; \pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z};$ б) $2 \pi; \frac{9 \pi}{4}; 3 \pi$.

Источник: ФИПИ