Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Показательные уравнения

а) Решите уравнение $49^{\sin x} = \left(\frac{1}{7}\right)^{- \sqrt{2} \sin 2 x} .$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Исходное уравнение: $49^{\sin x} = \left(\frac{1}{7}\right)^{- \sqrt{2} \sin 2 x}$ .
Приведем обе части уравнения к одному основанию $7$ :
$(7^2)^{\sin x} = (7^{-1})^{- \sqrt{2} \sin 2 x}$
$7^{2 \sin x} = 7^{\sqrt{2} \sin 2 x}$
Приравниваем показатели степеней:
$2 \sin x = \sqrt{2} \sin 2 x$
Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ , перенесем всё в левую часть:
$2 \sin x - 2\sqrt{2} \sin x \cos x = 0$
Вынесем общий множитель $2 \sin x$ за скобки:
$2 \sin x (1 - \sqrt{2} \cos x) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $2 \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = 0$
Откуда получаем первую серию корней: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ .
2) $1 - \sqrt{2} \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
После избавления от иррациональности в знаменателе: $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Это дает нам еще две серии решений: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ .

б) С помощью тригонометрической окружности выберем корни, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right]$ .

На указанном промежутке лежат следующие точки:
— Из серии $\pi n$ : это значения $2\pi$ и $3\pi$ .
— Из серии $\pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n$ : значению в первой четверти соответствует $2 \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9 \pi}{4}$ . Точка из четвертой четверти в данный отрезок не попадает.
Ответ: а) $\pi n, n \in \mathbb{Z}; \pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z};$ б) $2 \pi; \frac{9 \pi}{4}; 3 \pi$ .

Источник: ФИПИ