Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $2 \sin ^{2} x + \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos x$.
Применим формулу синуса суммы для раскрытия скобок:
$2 \sin ^{2} x + \sqrt{2} \left(\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}\right) - \cos x = 0$.
Подставим значения $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
$2 \sin ^{2} x + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \cos x = 0$.
После упрощения коэффициентов получаем:
$2 \sin ^{2} x + \sin x + \cos x - \cos x = 0$,
$2 \sin ^{2} x + \sin x = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$\sin x (2 \sin x + 1) = 0$.
Данное уравнение распадается на два случая:
1) $\sin x = 0$, откуда $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = - \frac{1}{2}$.
Решениями для синуса будут серии: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ (или $\frac{11\pi}{6} + 2\pi n$) и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ (или $\frac{7\pi}{6} + 2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$.

б) С помощью тригонометрической окружности выберем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[- 2 \pi ; - \frac{\pi}{2}\right]$.

На указанном отрезке находятся точки:
$x = -2\pi$,
$x = -\pi$,
$x = -\pi + \frac{\pi}{6} = - \frac{5 \pi}{6}$.
Ответ: а) $\pi n, \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi n, \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $- 2 \pi, - \pi, - \frac{5 \pi}{6}$.

Источник: ФИПИ