Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Показательные уравнения

а) Решите уравнение $9 \cdot 81^{\cos x} - 28 \cdot 9^{\cos x} + 3 = 0 .$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5 \pi}{2} ; 4 \pi\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $9 \cdot 81^{\cos x} - 28 \cdot 9^{\cos x} + 3 = 0$ .
Для упрощения введем новую переменную, пусть $t = 9^{\cos x}$ . Тогда уравнение примет квадратный вид:
$9t^2 - 28t + 3 = 0$
Найдем корни полученного уравнения через дискриминант или теорему Виета:
1) $t = \frac{1}{9}$ .
Выполним обратную замену: $9^{\cos x} = \frac{1}{9}$ .
Представим правую часть как степень с основанием 9: $9^{\cos x} = 9^{-1}$ .
Отсюда следует, что $\cos x = -1$ .
Решением данного простейшего тригонометрического уравнения будет: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ .

2) $t = 3$ .
Возвращаемся к переменной $x$ : $9^{\cos x} = 3$ .
Приведем обе части к основанию 3: $3^{2\cos x} = 3^1$ .
Приравниваем показатели: $2\cos x = 1$ , откуда $\cos x = \frac{1}{2}$ .
Следовательно, $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ .

б) Произведем отбор найденных корней, принадлежащих отрезку $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ , используя единичную окружность.

Из первой серии решений на заданный промежуток попадает точка: $3\pi$ .
Из второй серии решений ( $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ ) в указанный интервал входит значение:
$4\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{3}$ .
Таким образом, искомые корни: $3\pi$ и $\frac{11\pi}{3}$ .

Ответ: а) $\pi + 2\pi n, \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ ; б) $3\pi, \frac{11\pi}{3}$ .

Источник: ФИПИ