Задание №13 — Показательные уравнения

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $9 \cdot 81^{\cos x} - 28 \cdot 9^{\cos x} + 3 = 0$.
Для упрощения введем новую переменную, пусть $t = 9^{\cos x}$. Тогда уравнение примет квадратный вид:
$$9t^2 - 28t + 3 = 0$$
Найдем корни полученного уравнения через дискриминант или теорему Виета:
1) $t = \frac{1}{9}$.
Выполним обратную замену: $9^{\cos x} = \frac{1}{9}$.
Представим правую часть как степень с основанием 9: $9^{\cos x} = 9^{-1}$.
Отсюда следует, что $\cos x = -1$.
Решением данного простейшего тригонометрического уравнения будет: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $t = 3$.
Возвращаемся к переменной $x$: $9^{\cos x} = 3$.
Приведем обе части к основанию 3: $3^{2\cos x} = 3^1$.
Приравниваем показатели: $2\cos x = 1$, откуда $\cos x = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Произведем отбор найденных корней, принадлежащих отрезку $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$, используя единичную окружность.

Из первой серии решений на заданный промежуток попадает точка: $3\pi$.
Из второй серии решений ($x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$) в указанный интервал входит значение:
$4\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{3}$.
Таким образом, искомые корни: $3\pi$ и $\frac{11\pi}{3}$.

Ответ: а) $\pi + 2\pi n, \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $3\pi, \frac{11\pi}{3}$.

Источник: ФИПИ