Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Тригонометрич. ур-яТождества в тригонометрическом уравненииЗамена переменной в уравнениях и неравенствахПростейшие тригонометрические уравненияСведение к квадратному уравнениюОтбор корней на отрезке

2 баллаФИПИЛёгкое#22995

а) Решите уравнение $2 \cos ^{2} x + 3 \sin \left(- x\right) - 3 = 0$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Ход решения:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $2 \cos ^{2} x + 3 \sin \left(- x\right) - 3 = 0$ .
Используя нечётность синуса, преобразуем выражение: $2 \cos ^{2} x - 3 \sin x - 3 = 0$ .
Заменим косинус через основное тригонометрическое тождество: $2 (1 - \sin^2 x) - 3 \sin x - 3 = 0$ .
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$2 - 2 \sin^2 x - 3 \sin x - 3 = 0$
$-2 \sin^2 x - 3 \sin x - 1 = 0$
Умножим всё уравнение на $-1$ , чтобы упростить вид: $2 \sin^2 x + 3 \sin x + 1 = 0$ .
Введём новую переменную $t = \sin x$ , где $|t| \leq 1$ . Получаем квадратное уравнение:
$2 t^{2} + 3 t + 1 = 0$
Корнями данного уравнения являются $t_1 = -1$ и $t_2 = -0,5$ .
Вернёмся к переменной $x$ :
1) $\sin x = -1 \Rightarrow x = \frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ .
2) $\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow \left[\begin{matrix} x = \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

б) С помощью единичной окружности выберем корни, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi , \frac{7 \pi}{2}\right]$ .

На указанном интервале получаем следующие значения:
Нижняя точка окружности соответствует $2\pi + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$ .
Точка в третьей четверти вычисляется как $3\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{19\pi}{6}$ .
Точка в четвёртой четверти ( $2\pi + \frac{11\pi}{6} = \frac{23\pi}{6}$ ) не входит в заданный промежуток.

Ответ: а) $\frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi n, \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{19 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{2}$

Источник: ФИПИ