Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Ход решения:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $2 \cos ^{2} x + 3 \sin \left(- x\right) - 3 = 0$.
Используя нечётность синуса, преобразуем выражение: $2 \cos ^{2} x - 3 \sin x - 3 = 0$.
Заменим косинус через основное тригонометрическое тождество: $2 (1 - \sin^2 x) - 3 \sin x - 3 = 0$.
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$2 - 2 \sin^2 x - 3 \sin x - 3 = 0$
$-2 \sin^2 x - 3 \sin x - 1 = 0$
Умножим всё уравнение на $-1$, чтобы упростить вид: $2 \sin^2 x + 3 \sin x + 1 = 0$.
Введём новую переменную $t = \sin x$, где $|t| \leq 1$. Получаем квадратное уравнение:
$2 t^{2} + 3 t + 1 = 0$
Корнями данного уравнения являются $t_1 = -1$ и $t_2 = -0,5$.
Вернёмся к переменной $x$:
1) $\sin x = -1 \Rightarrow x = \frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow \left[\begin{matrix} x = \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

б) С помощью единичной окружности выберем корни, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi , \frac{7 \pi}{2}\right]$.

На указанном интервале получаем следующие значения:
Нижняя точка окружности соответствует $2\pi + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$.
Точка в третьей четверти вычисляется как $3\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{19\pi}{6}$.
Точка в четвёртой четверти ($2\pi + \frac{11\pi}{6} = \frac{23\pi}{6}$) не входит в заданный промежуток.

Ответ: а) $\frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, \frac{7 \pi}{6} + 2 \pi n, \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{19 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{2}$

Источник: ФИПИ