Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Тригонометрич. ур-яТождества в тригонометрическом уравненииЗамена переменной в уравнениях и неравенствахПростейшие тригонометрические уравненияСведение к квадратному уравнениюОтбор корней на отрезке

2 баллаФИПИЛёгкое#22996

а) Решите уравнение $2 \sin ^{2} x + \cos \left(- x\right) - 1 = 0 .$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{9 \pi}{2} ; - 3 \pi\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Исходное уравнение: $2 \sin ^{2} x + \cos \left(- x\right) - 1 = 0$ .
Воспользуемся свойством четности косинуса $\cos(-x) = \cos x$ и основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ :
$2 (1 - \cos^2 x) + \cos x - 1 = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2 - 2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$
$-2 \cos^2 x + \cos x + 1 = 0$
Умножим обе части на $-1$ для удобства решения:
$2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0$
Введем новую переменную $t = \cos x$ , где $|t| \leq 1$ . Получаем квадратное уравнение:
$2t^2 - t - 1 = 0$
Корнями данного уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = -\frac{1}{2}$ .
Вернемся к переменной $x$ :
1) $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ .
2) $\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ .

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{9 \pi}{2} ; - 3 \pi\right]$ , используя единичную окружность.

Из рисунка видно, что на заданном интервале лежат следующие точки:
1) Точка $-4\pi$ (соответствует серии $2\pi n$ ).
2) Точка $-3\pi - \frac{\pi}{3} = -\frac{10\pi}{3}$ (соответствует серии $\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ ).
Точка из серии $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ в указанный промежуток не попадает.

Ответ: а) $2\pi n; \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ ; б) $-4\pi; -\frac{10\pi}{3}$

Источник: ФИПИ