Решение:
а) Исходное уравнение: $2 \sin ^{2} x + \cos \left(- x\right) - 1 = 0$.
Воспользуемся свойством четности косинуса $\cos(-x) = \cos x$ и основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:
$2 (1 - \cos^2 x) + \cos x - 1 = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2 - 2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$
$-2 \cos^2 x + \cos x + 1 = 0$
Умножим обе части на $-1$ для удобства решения:
$2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0$
Введем новую переменную $t = \cos x$, где $|t| \leq 1$. Получаем квадратное уравнение:
$2t^2 - t - 1 = 0$
Корнями данного уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = -\frac{1}{2}$.
Вернемся к переменной $x$:
1) $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{9 \pi}{2} ; - 3 \pi\right]$, используя единичную окружность.

Из рисунка видно, что на заданном интервале лежат следующие точки:
1) Точка $-4\pi$ (соответствует серии $2\pi n$).
2) Точка $-3\pi - \frac{\pi}{3} = -\frac{10\pi}{3}$ (соответствует серии $\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$).
Точка из серии $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ в указанный промежуток не попадает.

Ответ: а) $2\pi n; \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $-4\pi; -\frac{10\pi}{3}$

Источник: ФИПИ