Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $2 \cos ^{2} x + 3 \sin \left(x + \pi\right) - 3 = 0$.
Применим формулу приведения $\sin(x + \pi) = -\sin x$, тогда уравнение примет вид:
$2 \cos ^{2} x - 3 \sin x - 3 = 0$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$:
$2(1 - \sin^2 x) - 3 \sin x - 3 = 0$,
$2 - 2 \sin^2 x - 3 \sin x - 3 = 0$,
$-2 \sin^2 x - 3 \sin x - 1 = 0$.
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы упростить коэффициенты:
$2 \sin^2 x + 3 \sin x + 1 = 0$.
Введем новую переменную $t = \sin x$, где $|t| \leq 1$. Получаем квадратное уравнение:
$2t^2 + 3t + 1 = 0$.
Корнями данного уравнения являются $t_1 = -1$ и $t_2 = -0,5$.
Выполним обратную подстановку:
1) $\sin x = -1$, откуда $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = -\frac{1}{2}$, что дает две серии решений:
$$\left[\begin{matrix} x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$$
б) С помощью единичной окружности найдем корни, принадлежащие отрезку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.

На указанном промежутке получаем следующие значения:
1) Точка $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = \frac{7\pi}{2}$ попадает в границы отрезка.
2) Точка из серии $\frac{7\pi}{6} + 2\pi n$: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6}$.
3) Точка из серии $\frac{11\pi}{6} + 2\pi n$ при $n=0$ и $n=1$ не входит в заданный интервал.

Ответ:
а) $\frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$;
б) $\frac{19\pi}{6}, \frac{7\pi}{2}$.

Источник: ФИПИ