Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\sin 2 x - \sin \left(- x\right) + 2 \cos \left(- x\right) + 1 = 0$.
Используя свойства четности косинуса $\cos(-x) = \cos x$, нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin x$ и формулу двойного аргумента, преобразуем выражение:
$2 \sin x \cos x + \sin x + 2 \cos x + 1 = 0$.
Применим метод группировки для левой части уравнения:
$\sin x (2 \cos x + 1) + (2 \cos x + 1) = 0$,
$(2 \cos x + 1)(\sin x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -1$.
Отсюда получаем первую серию решений: $x = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi n$ (или $x = \frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2}$.
Это дает нам еще две серии корней: $x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) С помощью единичной окружности найдем корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right]$.

На указанном интервале лежат следующие значения:
— Точка $x = \frac{3 \pi}{2}$ является границей отрезка и корнем уравнения.
— Точка из второй четверти: $x = 3 \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{8 \pi}{3}$.
Значение $x = \frac{4\pi}{3}$ (из серии $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$) не входит в заданный промежуток.

Ответ:
а) $\frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$;
б) $\frac{3 \pi}{2}, \frac{8 \pi}{3}$.

Источник: ФИПИ