Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

а) Решите уравнение $\sin 2 x - \sin \left(- x\right) + 2 \cos \left(- x\right) + 1 = 0 .$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\sin 2 x - \sin \left(- x\right) + 2 \cos \left(- x\right) + 1 = 0$ .
Используя свойства четности косинуса $\cos(-x) = \cos x$ , нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin x$ и формулу двойного аргумента, преобразуем выражение:
$2 \sin x \cos x + \sin x + 2 \cos x + 1 = 0$ .
Применим метод группировки для левой части уравнения:
$\sin x (2 \cos x + 1) + (2 \cos x + 1) = 0$ ,
$(2 \cos x + 1)(\sin x + 1) = 0$ .
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -1$ .
Отсюда получаем первую серию решений: $x = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi n$ (или $x = \frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n$ ), где $n \in \mathbb{Z}$ .
2) $2 \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2}$ .
Это дает нам еще две серии корней: $x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n$ , где $n \in \mathbb{Z}$ .

б) С помощью единичной окружности найдем корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right]$ .

На указанном интервале лежат следующие значения:
— Точка $x = \frac{3 \pi}{2}$ является границей отрезка и корнем уравнения.
— Точка из второй четверти: $x = 3 \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{8 \pi}{3}$ .
Значение $x = \frac{4\pi}{3}$ (из серии $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ ) не входит в заданный промежуток.

Ответ:
а) $\frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ ;
б) $\frac{3 \pi}{2}, \frac{8 \pi}{3}$ .

Источник: ФИПИ