Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
а) Для начала преобразуем исходное уравнение $2 \sin ^{2} \left(\frac{3 \pi}{2} + x\right) + \cos \left(\pi - x\right) = 0$, используя формулы приведения.
Заметим, что $\sin \left(\frac{3 \pi}{2} + x\right) = -\cos x$, тогда $\sin^2 \left(\frac{3 \pi}{2} + x\right) = \cos^2 x$. Также $\cos \left(\pi - x\right) = -\cos x$.
Получаем уравнение:
$$2 \cos ^{2} x - \cos x = 0$$
Вынесем общий множитель за скобки:
$$\cos x ( 2 \cos x - 1 ) = 0$$
Данное произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\cos x = 0$, откуда следует $x = \frac{\pi}{2} + \pi n , n \in \mathbb{Z} .$
2) $2 \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$, откуда получаем $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k , k \in \mathbb{Z} .$

б) Выполним отбор корней, принадлежащих заданному отрезку $\left[- 2 \pi ; - \frac{\pi}{2}\right]$, с помощью числовой окружности.

На указанном промежутке лежат следующие значения:
Из первой серии решений: $x = - \frac{3 \pi}{2}$ и $x = - \frac{\pi}{2}$.
Из второй серии решений: $x = - 2 \pi + \frac{\pi}{3} = - \frac{5 \pi}{3}$.
Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi n, \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $- \frac{5 \pi}{3}; - \frac{3 \pi}{2}; - \frac{\pi}{2}$.

Источник: ФИПИ