Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\cos 2x + \sqrt{2} \cos(x + \pi) + 1 = 0$.
Применим формулу приведения $\cos(x + \pi) = -\cos x$ и разложим косинус двойного угла через косинус одинарного: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
Уравнение примет вид:
$2\cos^2 x - 1 - \sqrt{2}\cos x + 1 = 0$
$2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\cos x (2\cos x - \sqrt{2}) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\cos x = 0$, откуда получаем серию корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $2\cos x - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, что дает нам корни $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Произведем отбор полученных решений, принадлежащих отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$, используя тригонометрическую окружность.

Вычислим значения точек, попавших в указанный интервал:
Из первой серии корней подходят значения: $-4\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{2}$ и $-4\pi + \frac{3\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2}$.
Из второй серии подходит корень: $-4\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{15\pi}{4}$.
Таким образом, искомые числа: $-\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}, -\frac{15\pi}{4}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}; -\frac{15\pi}{4}$

Источник: ФИПИ