Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

а) Решите уравнение $\cos 2 x + \sqrt{2} \cos \left(x + \pi\right) + 1 = 0$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- 4 \pi ; - \frac{5 \pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\cos 2x + \sqrt{2} \cos(x + \pi) + 1 = 0$ .
Применим формулу приведения $\cos(x + \pi) = -\cos x$ и разложим косинус двойного угла через косинус одинарного: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ .
Уравнение примет вид:
$2\cos^2 x - 1 - \sqrt{2}\cos x + 1 = 0$
$2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\cos x (2\cos x - \sqrt{2}) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\cos x = 0$ , откуда получаем серию корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ .
2) $2\cos x - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , что дает нам корни $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ .

б) Произведем отбор полученных решений, принадлежащих отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ , используя тригонометрическую окружность.

Вычислим значения точек, попавших в указанный интервал:
Из первой серии корней подходят значения: $-4\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{2}$ и $-4\pi + \frac{3\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2}$ .
Из второй серии подходит корень: $-4\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{15\pi}{4}$ .
Таким образом, искомые числа: $-\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}, -\frac{15\pi}{4}$ .

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}; -\frac{15\pi}{4}$

Источник: ФИПИ