Задание №14 — Показательные уравнения

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $16^{\cos x} + 16^{\cos (\pi - x)} = \frac{17}{4}$.
Используя формулу приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x$, преобразуем уравнение к виду:
$16^{\cos x} + 16^{-\cos x} = \frac{17}{4}$.
Для упрощения введем новую переменную $t = 16^{\cos x}$, где $t > 0$. Получаем:
$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$.
Умножим обе части уравнения на $4t$ (так как $t \neq 0$) и перенесем все слагаемые в левую часть:
$4t^2 - 17t + 4 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант или теорему Виета. Корни уравнения:
1) $t = \frac{1}{4}$.
Выполним обратную подстановку:
$16^{\cos x} = \frac{1}{4}$
$(4^2)^{\cos x} = 4^{-1}$
$4^{2\cos x} = 4^{-1}$
$2\cos x = -1 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2}$.

Отсюда находим первую серию решений: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $t = 4$.
Снова возвращаемся к переменной $x$:
$16^{\cos x} = 4$
$4^{2\cos x} = 4^1$
$2\cos x = 1 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$.

Отсюда получаем вторую серию решений: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Проведем отбор корней, принадлежащих отрезку $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$.
Воспользуемся тригонометрической окружностью для поиска подходящих значений:

На заданном интервале находятся следующие корни:
$x_1 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ (соответствует точке $\cos x = -\frac{1}{2}$);
$x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ (соответствует точке $\cos x = \frac{1}{2}$);
$x_3 = 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$ (соответствует точке $\cos x = \frac{1}{2}$).

Ответ:
а) $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$;
б) $\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$.

Источник: ФИПИ