Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

а) Решите уравнение $\sin 2 x + 2 \sin \left(- x\right) + \cos \left(- x\right) - 1 = 0 .$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Для начала воспользуемся свойствами четности тригонометрических функций и формулой синуса двойного угла, чтобы преобразовать исходное уравнение:
$\sin 2x + 2\sin(-x) + \cos(-x) - 1 = 0$
$2\sin x \cos x - 2\sin x + \cos x - 1 = 0$
Теперь применим метод группировки слагаемых:
$2\sin x(\cos x - 1) + (\cos x - 1) = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$(\cos x - 1)(2\sin x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю:
1) $\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1$
2) $2\sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2}$
Решая эти простейшие уравнения, получаем совокупность корней:
$\left[\begin{matrix} x = 2\pi n, \\ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \\ x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \end{matrix}\right. n \in \mathbb{Z}$

б) С помощью единичной окружности определим, какие из найденных корней попадают в заданный отрезок $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ .

На указанном промежутке лежат следующие значения:
Первый корень: $x = 2\pi$ .
Второй корень вычислим, отступив от точки $3\pi$ в положительном направлении: $3\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{18\pi + \pi}{6} = \frac{19\pi}{6}$ .
Точка $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ при $n=1$ дает $x = \frac{11\pi}{6}$ , что не входит в данный интервал, а при $n=2$ значение уже превышает правую границу.
Ответ: а) $2\pi n, -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ ; б) $2\pi, \frac{19\pi}{6}$ .

Источник: ФИПИ