Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
а) Для начала воспользуемся свойствами четности тригонометрических функций и формулой синуса двойного угла, чтобы преобразовать исходное уравнение:
$\sin 2x + 2\sin(-x) + \cos(-x) - 1 = 0$
$2\sin x \cos x - 2\sin x + \cos x - 1 = 0$
Теперь применим метод группировки слагаемых:
$2\sin x(\cos x - 1) + (\cos x - 1) = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$(\cos x - 1)(2\sin x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю:
1) $\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1$
2) $2\sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2}$
Решая эти простейшие уравнения, получаем совокупность корней:
$$\left[\begin{matrix} x = 2\pi n, \\ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \\ x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \end{matrix}\right. n \in \mathbb{Z}$$

б) С помощью единичной окружности определим, какие из найденных корней попадают в заданный отрезок $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.

На указанном промежутке лежат следующие значения:
Первый корень: $x = 2\pi$.
Второй корень вычислим, отступив от точки $3\pi$ в положительном направлении: $3\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{18\pi + \pi}{6} = \frac{19\pi}{6}$.
Точка $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ при $n=1$ дает $x = \frac{11\pi}{6}$, что не входит в данный интервал, а при $n=2$ значение уже превышает правую границу.
Ответ: а) $2\pi n, -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $2\pi, \frac{19\pi}{6}$.

Источник: ФИПИ