Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

а) Решите уравнение: $2 \cos ^{3} x + \sqrt{2} \sin ^{2} x = 2 \cos x .$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5 \pi}{2} ; 4 \pi\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $2 \cos^{3} x + \sqrt{2} \sin^{2} x = 2 \cos x$ .
Для решения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и заменим $\sin^{2} x$ на $1 - \cos^{2} x$ :
$2 \cos^{3} x + \sqrt{2} (1 - \cos^{2} x) - 2 \cos x = 0$ .
Сгруппируем слагаемые, содержащие косинус в первой и третьей степени:
$-2 \cos x (1 - \cos^{2} x) + \sqrt{2} (1 - \cos^{2} x) = 0$ .
Теперь вынесем общий множитель $(1 - \cos^{2} x)$ за скобки:
$(1 - \cos^{2} x)(\sqrt{2} - 2 \cos x) = 0$ .
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) Из второй скобки получаем:
$\sqrt{2} - 2 \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Следовательно, $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ .
2) Из первой скобки имеем:
$1 - \cos^{2} x = 0$ , что равносильно $\sin^2 x = 0$ .
Это уравнение распадается на два случая: $\cos x = 1$ или $\cos x = -1$ .
Если $\cos x = 1$ , то $x = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ .
Если $\cos x = -1$ , то $x = \pi + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ .
Данные две серии решений можно записать одной формулой: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ .

б) Отберем корни, принадлежащие заданному отрезку $\left[\frac{5 \pi}{2}; 4 \pi\right]$ .
Воспользуемся единичной окружностью для поиска подходящих значений:

На указанном промежутке находятся следующие корни:
— Из серии $\pi n$ это точки $3\pi$ и $4\pi$ .
— Из серии $\pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n$ в интервал попадает только одно значение: $4 \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{15 \pi}{4}$ .

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n, \pi n, n \in \mathbb{Z}$ ; б) $3 \pi, \frac{15 \pi}{4}, 4 \pi$ .

Источник: ФИПИ