Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\sin x + 2 \sin \left(2 x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \sin 2 x + 1$.
Применим формулу синуса суммы для раскрытия скобок:
$\sin x + 2 \left( \sin 2 x \cos \frac{\pi}{6} + \cos 2 x \sin \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} \sin 2 x + 1$
Подставим табличные значения $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:
$\sin x + 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x + \frac{1}{2} \cos 2 x \right) = \sqrt{3} \sin 2 x + 1$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\sin x + \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x = \sqrt{3} \sin 2 x + 1$
Перенесем все слагаемые в левую часть и воспользуемся формулой двойного угла для косинуса $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:
$\sin x + \cos 2 x - 1 = 0$
$\sin x + (1 - 2 \sin^2 x) - 1 = 0$
$\sin x - 2 \sin^2 x = 0$
Умножим уравнение на $-1$ и вынесем общий множитель за скобки:
$2 \sin^2 x - \sin x = 0$
$\sin x (2 \sin x - 1) = 0$
Получаем две возможности:
1) $\sin x = 0$, откуда $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$;
2) $2 \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$, что дает корни:
$$\left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$$

б) Произведем отбор полученных решений на отрезке $\left[- \frac{7 \pi}{2}; - 2 \pi\right]$. Воспользуемся для этого тригонометрическим кругом.

Согласно чертежу, в указанный интервал попадают следующие значения:
$x_1 = - 2 \pi$;
$x_2 = - 3 \pi$;
$x_3 = - 3 \pi - \frac{\pi}{6} = - \frac{19 \pi}{6}$.
Ответ: а) $\pi n, n \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}; \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $- 2 \pi; - 3 \pi; - \frac{19 \pi}{6}$

Источник: ФИПИ