Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Сумма/разность аргументов или функций

Решение:
а) Исходное уравнение: $2 \sin ^{2} x + \sqrt{2} \sin \left(2 \pi - x\right) + \sqrt{3} \sin 2 x = \sqrt{6} \cos x$.
Применим формулу приведения $\sin(2\pi - x) = -\sin x$ и разложим синус двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$2 \sin ^{2} x - \sqrt{2} \sin x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x - \sqrt{6} \cos x = 0$.
Для удобства группировки представим коэффициенты через радикалы:
$(\sqrt{2})^2 \sin^2 x - \sqrt{2} \sin x + \sqrt{3} \cdot (\sqrt{2})^2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cos x = 0$.
Выполним группировку слагаемых:
$\sqrt{2} \sin x (\sqrt{2} \sin x - 1) + \sqrt{6} \cos x (\sqrt{2} \sin x - 1) = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$(\sqrt{2} \sin x - 1)(\sqrt{2} \sin x + \sqrt{6} \cos x) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $\sqrt{2} \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Отсюда получаем две серии решений:
$\left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

2) $\sqrt{2} \sin x + \sqrt{6} \cos x = 0$.
Разделим обе части на $\cos x$ (заметим, что если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно по основному тригонометрическому тождеству):
$\sqrt{2} \operatorname{tg} x + \sqrt{6} = 0 \Rightarrow \operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{3}$.
Следовательно, $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) С помощью единичной окружности выберем корни, принадлежащие заданному отрезку $\left[- \pi ; \frac{\pi}{2}\right]$.

На указанном промежутке лежат значения: $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}$.

Источник: ФИПИ