Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Сумма/разность аргументов или функций

Тригонометрич. ур-яТождества в тригонометрическом уравненииЗамена переменной в уравнениях и неравенствахПростейшие тригонометрические уравненияСведение к квадратному уравнениюОтбор корней на отрезке

2 баллаФИПИЛёгкое#23008

а) Решите уравнение $\cos 2 x - 3 \sin ( - x ) - 2 = 0$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3 \pi ; \frac{9 \pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\cos 2x - 3 \sin(-x) - 2 = 0$ .
Используя свойство нечётности синуса $\sin(-x) = -\sin x$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ , преобразуем уравнение к виду:
$1 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$ , что упрощается до $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$ .
Введём новую переменную $t = \sin x$ , где $|t| \le 1$ . Получаем квадратное уравнение:
$2t^2 - 3t + 1 = 0$ .
Найдём дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$ .
Корни уравнения относительно $t$ :
$t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1$ ;
$t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$ .
Выполним обратный переход к переменной $x$ :
1) $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ ;
2) $\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ .

б) Найдём корни, принадлежащие заданному отрезку $\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]$ , используя единичную окружность.

Из рисунка видно, что указанному промежутку соответствуют следующие значения:
Верхняя точка окружности: $x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}$ .
Точка в первой четверти: $x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6}$ .
Точка во второй четверти $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ не попадает в данный интервал.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{9\pi}{2}, \frac{25\pi}{6}$ .

Источник: ФИПИ