Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\cos 2x - 3 \sin(-x) - 2 = 0$.
Используя свойство нечётности синуса $\sin(-x) = -\sin x$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, преобразуем уравнение к виду:
$1 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$, что упрощается до $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.
Введём новую переменную $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение:
$2t^2 - 3t + 1 = 0$.
Найдём дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Корни уравнения относительно $t$:
$t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1$;
$t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$.
Выполним обратный переход к переменной $x$:
1) $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
2) $\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Найдём корни, принадлежащие заданному отрезку $\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]$, используя единичную окружность.

Из рисунка видно, что указанному промежутку соответствуют следующие значения:
Верхняя точка окружности: $x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}$.
Точка в первой четверти: $x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6}$.
Точка во второй четверти $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ не попадает в данный интервал.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{9\pi}{2}, \frac{25\pi}{6}$.

Источник: ФИПИ