Решение:
а) Для решения уравнения $2 \sin^{3} x = \sqrt{2} \cos^{2} x + 2 \sin x$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и заменим $\cos^{2} x$ на $1 - \sin^{2} x$:
$2 \sin^{3} x = \sqrt{2} (1 - \sin^{2} x) + 2 \sin x$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$2 \sin^{3} x - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sin^{2} x - 2 \sin x = 0$
Сгруппируем члены уравнения для вынесения общих множителей:
$(2 \sin^{3} x - 2 \sin x) + (\sqrt{2} \sin^{2} x - \sqrt{2}) = 0$
$2 \sin x (\sin^{2} x - 1) + \sqrt{2} (\sin^{2} x - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(\sin^{2} x - 1)$ за скобки:
$(\sin^{2} x - 1)(2 \sin x + \sqrt{2}) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\sin^{2} x - 1 = 0 \Rightarrow \sin^{2} x = 1 \Rightarrow \sin x = \pm 1$
Отсюда получаем две серии решений:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) $2 \sin x + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Это дает следующие серии корней:
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) Проведем отбор корней, принадлежащих заданному отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$, используя единичную окружность.

Указанному промежутку соответствуют следующие значения:
Из серии $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: при $k = -1$ получаем $x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4}$.
Из серии $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$: при $k = -2$ получаем $x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$.
Также на границе отрезка находится корень $x = -\frac{5\pi}{2}$ (из серии $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ при $k = -1$).

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; -\frac{\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi}{2}; -\frac{11\pi}{4}; -\frac{5\pi}{2}$

Источник: ФИПИ