Задание №13 — Показательные уравнения

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $27^{x} - 4 \cdot 3^{x + 2} + 3^{5 - x} = 0$.
Преобразуем степени к основанию 3: $(3^3)^x - 4 \cdot 3^x \cdot 3^2 + \frac{3^5}{3^x} = 0$.
Получаем: $3^{3x} - 36 \cdot 3^x + \frac{243}{3^x} = 0$.
Введем новую переменную $3^x = t$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:
$t^3 - 36t + \frac{243}{t} = 0$.
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):
$t^4 - 36t^2 + 243 = 0$.
Для решения этого биквадратного уравнения выполним замену $t^2 = y$, где $y > 0$:
$y^2 - 36y + 243 = 0$.
По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $y_1 = 9$ и $y_2 = 27$.
Вернемся к переменной $t$:
1) $t^2 = 9 \Rightarrow t = \pm 3$. Учитывая условие $t > 0$, оставляем $t = 3$.
2) $t^2 = 27 \Rightarrow t = \pm \sqrt{27}$. Учитывая условие $t > 0$, оставляем $t = \sqrt{27}$.
Теперь найдем значения $x$:
Если $3^x = 3$, то $x = 1$.
Если $3^x = \sqrt{27}$, то $3^x = 3^{\frac{3}{2}}$, откуда $x = 1,5$.

б) Проверим, какие из найденных корней попадают в интервал $[\log_7 4; \log_7 16]$.
Для корня $x = 1$:
Представим единицу как логарифм: $1 = \log_7 7$.
Так как основание логарифма $7 > 1$, то из неравенств $4 < 7$ и $7 < 16$ следует, что $\log_7 4 < \log_7 7 < \log_7 16$.
Значит, $x = 1$ принадлежит заданному отрезку.
Для корня $x = 1,5$:
Запишем число в виде логарифма: $\frac{3}{2} = \log_7 7^{1,5} = \log_7 \sqrt{343}$.
Сравним правую границу отрезка $\log_7 16$ с полученным числом. Заметим, что $16 = \sqrt{256}$.
Так как $\sqrt{343} > \sqrt{256}$, то $\log_7 \sqrt{343} > \log_7 16$.
Следовательно, $x = 1,5$ лежит правее указанного отрезка и не входит в него.
Ответ: а) $1; 1,5$; б) $1$.

Источник: ФИПИ