Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 2 \sin ^{2} x = \sin x + 2$.
Применим формулу синуса суммы для первого слагаемого:
$\sqrt{2} \left(\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}\right) + 2 \sin ^{2} x - \sin x - 2 = 0$.
Подставим значения $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
$\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x\right) + 2 \sin ^{2} x - \sin x - 2 = 0$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\sin x + \cos x + 2 \sin ^{2} x - \sin x - 2 = 0$,
$\cos x + 2 \sin ^{2} x - 2 = 0$.
Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$:
$\cos x + 2(1 - \cos^2 x) - 2 = 0$,
$\cos x + 2 - 2 \cos^2 x - 2 = 0$,
$2 \cos^2 x - \cos x = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$\cos x (2 \cos x - 1) = 0$.
Получаем две возможности:
1) $\cos x = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$;
2) $\cos x = \frac{1}{2}$, откуда $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) С помощью единичной окружности выберем корни, принадлежащие заданному отрезку $\left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right]$.

Указанному промежутку соответствуют следующие значения:
$x_1 = 2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$;
$x_2 = 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$;
$x_3 = 2\pi + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k, \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}$.

Источник: ФИПИ