Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Сумма/разность аргументов или функций

а) Решите уравнение $\sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 2 \sin ^{2} x = \sin x + 2 .$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 2 \sin ^{2} x = \sin x + 2$ .
Применим формулу синуса суммы для первого слагаемого:
$\sqrt{2} \left(\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}\right) + 2 \sin ^{2} x - \sin x - 2 = 0$ .
Подставим значения $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ :
$\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x\right) + 2 \sin ^{2} x - \sin x - 2 = 0$ .
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\sin x + \cos x + 2 \sin ^{2} x - \sin x - 2 = 0$ ,
$\cos x + 2 \sin ^{2} x - 2 = 0$ .
Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$ :
$\cos x + 2(1 - \cos^2 x) - 2 = 0$ ,
$\cos x + 2 - 2 \cos^2 x - 2 = 0$ ,
$2 \cos^2 x - \cos x = 0$ .
Вынесем общий множитель за скобки:
$\cos x (2 \cos x - 1) = 0$ .
Получаем две возможности:
1) $\cos x = 0$ , откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ ;
2) $\cos x = \frac{1}{2}$ , откуда $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ .

б) С помощью единичной окружности выберем корни, принадлежащие заданному отрезку $\left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right]$ .

Указанному промежутку соответствуют следующие значения:
$x_1 = 2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$ ;
$x_2 = 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$ ;
$x_3 = 2\pi + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$ .

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k, \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{7 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}$ .

Источник: ФИПИ