Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Прототипы квадратных, кубических и других уравнений

а) Решите уравнение $16^{\sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0 .$

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- 5 \pi ; - \frac{7 \pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $16^{\sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0$ .
Приведем степени к одному основанию: $(4^2)^{\sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0$ , что дает нам $4^{2 \sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0$ .
Введем новую переменную $t = 4^{\sin x}$ , где $t > 0$ . Тогда уравнение примет вид квадратного:
$t^{2} - 6t + 8 = 0$ .
Находим корни через дискриминант или по теореме Виета: $t_{1} = 4$ и $t_{2} = 2$ .
Вернемся к переменной $x$ :
1) $4^{\sin x} = 4^1 \Rightarrow \sin x = 1$ .
Отсюда получаем серию решений: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ .
2) $4^{\sin x} = 2 \Rightarrow (2^2)^{\sin x} = 2^1 \Rightarrow 2\sin x = 1$ .
Следовательно, $\sin x = \frac{1}{2}$ .
Это дает две группы корней: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ .

б) Произведем отбор корней, принадлежащих заданному промежутку $\left[- 5\pi; - \frac{7\pi}{2}\right]$ , используя единичную окружность.

Из рисунка видно, что на указанном отрезке лежат следующие значения:
Верхняя точка окружности соответствует значению $- \frac{7\pi}{2}$ .
Точка из первой четверти вычисляется как: $\frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{\pi - 24\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6}$ .

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ ; $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ ; $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ ; б) $-\frac{23\pi}{6}; -\frac{7\pi}{2}$

Источник: ФИПИ