Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Прототипы квадратных, кубических и других уравнений

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $16^{\sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0$.
Приведем степени к одному основанию: $(4^2)^{\sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0$, что дает нам $4^{2 \sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0$.
Введем новую переменную $t = 4^{\sin x}$, где $t > 0$. Тогда уравнение примет вид квадратного:
$t^{2} - 6t + 8 = 0$.
Находим корни через дискриминант или по теореме Виета: $t_{1} = 4$ и $t_{2} = 2$.
Вернемся к переменной $x$:
1) $4^{\sin x} = 4^1 \Rightarrow \sin x = 1$.
Отсюда получаем серию решений: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $4^{\sin x} = 2 \Rightarrow (2^2)^{\sin x} = 2^1 \Rightarrow 2\sin x = 1$.
Следовательно, $\sin x = \frac{1}{2}$.
Это дает две группы корней: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Произведем отбор корней, принадлежащих заданному промежутку $\left[- 5\pi; - \frac{7\pi}{2}\right]$, используя единичную окружность.


Из рисунка видно, что на указанном отрезке лежат следующие значения:
Верхняя точка окружности соответствует значению $- \frac{7\pi}{2}$.
Точка из первой четверти вычисляется как: $\frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{\pi - 24\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$; $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{23\pi}{6}; -\frac{7\pi}{2}$

Источник: ФИПИ