Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\cos 2 x + \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0$.
Применим формулу приведения для синуса: $\sin \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$. Уравнение примет вид:
$$\cos 2 x + \sqrt{3} \cos x + 1 = 0$$
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:
$$2 \cos^2 x - 1 + \sqrt{3} \cos x + 1 = 0$$
После приведения подобных слагаемых получаем неполное квадратное уравнение относительно косинуса:
$$2 \cos^2 x + \sqrt{3} \cos x = 0$$
Вынесем общий множитель за скобки:
$$\cos x (2 \cos x + \sqrt{3}) = 0$$
Данное произведение равно нулю, если выполняется одно из условий:
1) $\cos x = 0$, откуда следует, что $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$;
2) $2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, что дает корни $x = \pm \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Проведем отбор найденных решений, принадлежащих заданному промежутку $\left[- 3 \pi ; - \frac{3 \pi}{2}\right]$, используя единичную окружность.

На указанном отрезке лежат следующие точки:
1) Концы дуги и точки вида $\frac{\pi}{2} + \pi k$: это значения $-\frac{3\pi}{2}$ и $-\frac{5\pi}{2}$.
2) Точка из серии $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: вычислим её как $- \frac{5 \pi}{6} - 2 \pi = \frac{- 5 \pi - 12 \pi}{6} = -\frac{17 \pi}{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k, \pm \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{17 \pi}{6}, -\frac{5 \pi}{2}, -\frac{3 \pi}{2}$.

Источник: ФИПИ