Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Сумма/разность аргументов или функций

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $2 \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 2 \sqrt{3} \cos ^{2} x = \cos x - 2 \sqrt{3}$.
Применим формулу синуса суммы для первого слагаемого и перенесем все части уравнения влево:
$2 \left(\sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6}\right) - 2 \sqrt{3} \cos ^{2} x - \cos x + 2 \sqrt{3} = 0$.
Подставим табличные значения $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:
$2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x\right) - 2 \sqrt{3} \cos ^{2} x - \cos x + 2 \sqrt{3} = 0$.
Раскроем скобки и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, заменив $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$:
$\sqrt{3} \sin x + \cos x - 2 \sqrt{3} (1 - \sin^2 x) - \cos x + 2 \sqrt{3} = 0$.
Упростим выражение, заметив, что слагаемые $\cos x$ и $-\cos x$ взаимно уничтожаются:
$\sqrt{3} \sin x - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \sin^2 x + 2 \sqrt{3} = 0$.
Числовые константы $-2\sqrt{3}$ и $2\sqrt{3}$ также сокращаются, остается уравнение:
$2 \sqrt{3} \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x = 0$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{3} \sin x$ за скобки:
$\sqrt{3} \sin x (2 \sin x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю:
1) $\sin x = 0$, откуда следует решение $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2}$.
Это дает две серии корней:
$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Выполним отбор корней, принадлежащих заданному отрезку $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$, используя единичную окружность.

На указанном промежутке находятся следующие точки:
- Из серии $x = \pi k$: это значения $-2\pi$ и $-\pi$.
- Из серии $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: точка $-\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$.
- Из серии $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ подходящих корней на данном отрезке нет.

Ответ:
а) $\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
б) $-2\pi; -\frac{13\pi}{6}; -\pi$.

Источник: ФИПИ