Задание №13 — Показательные уравнения

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $8^{x} - 9 \cdot 2^{x + 1} + 2^{5 - x} = 0$.
Преобразуем степени к основанию 2:
$(2^3)^{x} - 9 \cdot 2^{x} \cdot 2^1 + \frac{2^5}{2^{x}} = 0$, что дает нам $2^{3x} - 18 \cdot 2^{x} + \frac{32}{2^{x}} = 0$.
Введем новую переменную $t = 2^{x}$, учитывая, что $t > 0$.
Уравнение примет вид: $t^{3} - 18t + \frac{32}{t} = 0$.
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):
$t^{4} - 18t^{2} + 32 = 0$.
Для решения этого биквадратного уравнения введем еще одну замену: $y = t^{2}$, где $y > 0$.
$y^{2} - 18y + 32 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-18)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 324 - 128 = 196 = 14^2$.
Корни для $y$:
$y_{1} = \frac{18 + 14}{2} = 16$;
$y_{2} = \frac{18 - 14}{2} = 2$.
Вернемся к переменной $t$:
1) $t^{2} = 16 \Rightarrow t = 4$ или $t = -4$.
2) $t^{2} = 2 \Rightarrow t = \sqrt{2}$ или $t = -\sqrt{2}$.
По условию $t > 0$, следовательно, нам подходят только значения $t = 4$ и $t = \sqrt{2}$.
Перейдем к поиску $x$:
1) $2^{x} = 4 \Rightarrow 2^{x} = 2^2 \Rightarrow x = 2$;
2) $2^{x} = \sqrt{2} \Rightarrow 2^{x} = 2^{\frac{1}{2}} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.

б) Выполним отбор корней на промежутке $\left[\log _{5} 2 ; \log _{5} 20\right]$.
Оценим число 2: так как $2 = \log _{5} 25$, а $25 > 20$, то $\log _{5} 25 > \log _{5} 20$. Значит, $2 > \log _{5} 20$, и корень $x = 2$ не попадает в заданный отрезок.
Оценим число $\frac{1}{2}$: мы знаем, что $\frac{1}{2} = \log _{5} \sqrt{5}$.
Сравним аргументы логарифмов: $2 < \sqrt{5}$ (так как $4 < 5$) и $\sqrt{5} < 20$.
Следовательно, $\log _{5} 2 < \log _{5} \sqrt{5} < \log _{5} 20$, то есть $\log _{5} 2 < \frac{1}{2} < \log _{5} 20$.
Корень $x = \frac{1}{2}$ принадлежит указанному отрезку.
Ответ: а) $2; 0,5$; б) $0,5$.

Источник: ФИПИ