Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Сумма/разность аргументов или функций

Решение:
а) Рассмотрим уравнение $\cos 2x + \cos(-x) = 0$.
Используя свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos x$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$, перейдем к квадратному уравнению относительно $\cos x$:
$$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$$
Введем новую переменную $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Тогда уравнение примет вид:
$$2t^2 + t - 1 = 0$$
Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$
Выполним обратную подстановку:
1) $\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) С помощью единичной окружности найдем корни, принадлежащие заданному отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.


Указанному промежутку соответствуют следующие значения:
1) Точка, соответствующая $\pi$, в данном периоде запишется как $\pi - 4\pi = -3\pi$.
2) Точка, соответствующая $-\frac{\pi}{3}$, в данном периоде запишется как $-\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$.
Значение $\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3}$ не входит в рассматриваемый отрезок.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi; -\frac{7\pi}{3}$

Источник: ФИПИ