Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Сумма/разность аргументов или функций

Тригонометрич. ур-яТождества в тригонометрическом уравненииЗамена переменной в уравнениях и неравенствахПростейшие тригонометрические уравненияСведение к квадратному уравнениюОтбор корней на отрезке

2 баллаФИПИСреднее#23016

а) Решите уравнение $\cos 2 x + \cos ( - x ) = 0$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{7 \pi}{2} ; - 2 \pi\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Рассмотрим уравнение $\cos 2x + \cos(-x) = 0$ .
Используя свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos x$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ , перейдем к квадратному уравнению относительно $\cos x$ :
$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$
Введем новую переменную $t = \cos x$ , где $|t| \le 1$ . Тогда уравнение примет вид:
$2t^2 + t - 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$ .
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$
Выполним обратную подстановку:
1) $\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) С помощью единичной окружности найдем корни, принадлежащие заданному отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$ .

Указанному промежутку соответствуют следующие значения:
1) Точка, соответствующая $\pi$ , в данном периоде запишется как $\pi - 4\pi = -3\pi$ .
2) Точка, соответствующая $-\frac{\pi}{3}$ , в данном периоде запишется как $-\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$ .
Значение $\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3}$ не входит в рассматриваемый отрезок.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ ; б) $-3\pi; -\frac{7\pi}{3}$

Источник: ФИПИ