Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Сумма/разность аргументов или функций

Решение:
а) Исходное уравнение: $\sin 2x + \sqrt{2} \cos(x + \pi) = 0$.
Применим формулу синуса двойного угла и формулу приведения для косинуса:
$2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x = 0$.
Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:
$\cos x (2 \sin x - \sqrt{2}) = 0$.
Данное уравнение распадается на два случая:

1) $\cos x = 0$, откуда следует, что $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Заметим, что это объединение серий $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ и $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
2) $2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решениями являются точки:
$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Сделаем выборку корней, принадлежащих заданному отрезку $\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]$, используя единичную окружность.

Из рисунка видно, что в указанный промежуток попадают следующие значения:
1. Правая граница отрезка: $x = \frac{9\pi}{2}$.
2. Точка из серии $\cos x = 0$: $-\frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{7\pi}{2}$.
3. Точка из серии $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}$.
Точка $\frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4}$ не входит в интервал, так как $\frac{19\pi}{4} > \frac{18\pi}{4} = \frac{9\pi}{2}$.

Ответ:
а) $\frac{\pi}{2} + \pi k$; $\frac{\pi}{4} + 2\pi k$; $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
б) $\frac{7\pi}{2}$; $\frac{17\pi}{4}$; $\frac{9\pi}{2}$.

Источник: ФИПИ