Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Сумма/разность аргументов или функций

а) Решите уравнение $\sin 2 x + \sqrt{2} \cos \left(x + \pi\right) = 0$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3 \pi ; \frac{9 \pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Исходное уравнение: $\sin 2x + \sqrt{2} \cos(x + \pi) = 0$ .
Применим формулу синуса двойного угла и формулу приведения для косинуса:
$2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x = 0$ .
Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:
$\cos x (2 \sin x - \sqrt{2}) = 0$ .
Данное уравнение распадается на два случая:

1) $\cos x = 0$ , откуда следует, что $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ .
Заметим, что это объединение серий $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ и $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ .
2) $2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Решениями являются точки:
$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ .

б) Сделаем выборку корней, принадлежащих заданному отрезку $\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]$ , используя единичную окружность.

Из рисунка видно, что в указанный промежуток попадают следующие значения:
1. Правая граница отрезка: $x = \frac{9\pi}{2}$ .
2. Точка из серии $\cos x = 0$ : $-\frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{7\pi}{2}$ .
3. Точка из серии $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ : $\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}$ .
Точка $\frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4}$ не входит в интервал, так как $\frac{19\pi}{4} > \frac{18\pi}{4} = \frac{9\pi}{2}$ .

Ответ:
а) $\frac{\pi}{2} + \pi k$ ; $\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ ; $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ , где $k \in \mathbb{Z}$ .
б) $\frac{7\pi}{2}$ ; $\frac{17\pi}{4}$ ; $\frac{9\pi}{2}$ .

Источник: ФИПИ