Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Прототипы квадратных, кубических и других уравнений

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $16^{\sin x} + 16^{\sin \left(x + \pi\right)} = \frac{17}{4}$.
Используя формулу приведения $\sin(x + \pi) = -\sin x$, перепишем выражение:
$16^{\sin x} + 16^{- \sin x} = \frac{17}{4}$
$16^{\sin x} + \frac{1}{16^{\sin x}} = \frac{17}{4}$.
Введем новую переменную $t = 16^{\sin x}$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:
$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$.
Приведем дроби к общему знаменателю и перенесем всё в левую часть:
$\frac{4t^2 - 17t + 4}{4t} = 0$.
Так как $t \neq 0$, приравняем числитель к нулю:
$4t^2 - 17t + 4 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
Корни квадратного уравнения:
$t_1 = \frac{17 + 15}{8} = 4$;
$t_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Выполним обратную подстановку:
1) $16^{\sin x} = 4 \Rightarrow (4^2)^{\sin x} = 4^1 \Rightarrow 2\sin x = 1 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$.
Отсюда получаем две серии решений:
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $16^{\sin x} = \frac{1}{4} \Rightarrow (4^2)^{\sin x} = 4^{-1} \Rightarrow 2\sin x = -1 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2}$.
Отсюда получаем еще две серии решений:
$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) С помощью единичной окружности выберем корни, принадлежащие заданному отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right]$.


Промежутку соответствуют следующие значения:
$x_1 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$;
$x_2 = 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$;
$x_3 = 2\pi + \frac{5\pi}{6} = \frac{17\pi}{6}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi k, \pm \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6}$.

Источник: ФИПИ