Решение:
а) Для начала определим область допустимых значений. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$2 \cos x - \sqrt{3} \neq 0$
$\cos x \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$
Отсюда получаем исключаемые точки: $x \neq \pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Теперь приравняем числитель к нулю, учитывая найденное ограничение:
$\log _{2}^{2} (\sin x) + \log _{2} (\sin x) = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\log _{2} (\sin x) \cdot (\log _{2} (\sin x) + 1) = 0$
Данное произведение обращается в ноль в двух случаях:
1) $\log _{2} (\sin x) = 0$
$\sin x = 2^0$
$\sin x = 1$
$x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) $\log _{2} (\sin x) + 1 = 0$
$\log _{2} (\sin x) = -1$
$\sin x = \frac{1}{2}$
Это дает две серии решений: $x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi n$ и $x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Сопоставим полученные результаты с ОДЗ. Значение $x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi n$ не подходит, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль. Таким образом, искомыми корнями являются: $x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k$ и $x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.
б) Проведем отбор корней, принадлежащих заданному отрезку $\left[\frac{\pi}{2} ; 2 \pi\right]$, используя единичную окружность:

На указанном промежутке лежат числа: $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{5 \pi}{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}; \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{\pi}{2}; \frac{5 \pi}{6}$

Источник: ФИПИ