Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Логарифмические уравнения

Тригонометрич. ур-яОДЗ: аргумент логарифма и подкоренное выражениеПростейшие тригонометрические уравненияРазложение на множителиОтбор корней на отрезкеКомбинированные триг. уравнения

Другие навыки

Ненулевой знаменатель

2 баллаФИПИСреднее#23019

а) Решите уравнение $\frac{\log _{2}^{2} \left(\sin x\right) + \log _{2} \left(\sin x\right)}{2 \cos x - \sqrt{3}} = 0 .$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\pi}{2} ; 2 \pi\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Для начала определим область допустимых значений. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$2 \cos x - \sqrt{3} \neq 0$
$\cos x \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$
Отсюда получаем исключаемые точки: $x \neq \pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$ .
Теперь приравняем числитель к нулю, учитывая найденное ограничение:
$\log _{2}^{2} (\sin x) + \log _{2} (\sin x) = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\log _{2} (\sin x) \cdot (\log _{2} (\sin x) + 1) = 0$
Данное произведение обращается в ноль в двух случаях:
1) $\log _{2} (\sin x) = 0$
$\sin x = 2^0$
$\sin x = 1$
$x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) $\log _{2} (\sin x) + 1 = 0$
$\log _{2} (\sin x) = -1$
$\sin x = \frac{1}{2}$
Это дает две серии решений: $x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi n$ и $x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ .
Сопоставим полученные результаты с ОДЗ. Значение $x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi n$ не подходит, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль. Таким образом, искомыми корнями являются: $x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k$ и $x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$ .
б) Проведем отбор корней, принадлежащих заданному отрезку $\left[\frac{\pi}{2} ; 2 \pi\right]$ , используя единичную окружность:

На указанном промежутке лежат числа: $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{5 \pi}{6}$ .

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}; \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{\pi}{2}; \frac{5 \pi}{6}$

Источник: ФИПИ