Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Прототипы квадратных, кубических и других уравнений

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $4 \cdot 16^{\sin ^{2} x} - 6 \cdot 4^{1 - 2 \sin ^{2} x} = 29$.
Используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, преобразуем показатель степени во втором слагаемом:
$4 \cdot 16^{\sin ^{2} x} - 6 \cdot \frac{4^1}{4^{2 \sin ^{2} x}} = 29$.
Заметим, что $4^{2 \sin^2 x} = (4^2)^{\sin^2 x} = 16^{\sin^2 x}$. Тогда уравнение примет вид:
$4 \cdot 16^{\sin ^{2} x} - \frac{24}{16^{\sin ^{2} x}} = 29$.
Введем новую переменную $t = 16^{\sin ^{2} x}$, где $t > 0$. Получаем дробно-рациональное уравнение:
$4t - \frac{24}{t} = 29$.
Умножим обе части на $t$ и перенесем все члены в левую часть:
$4t^2 - 29t - 24 = 0$.
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
$D = (-29)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-24) = 841 + 384 = 1225 = 35^2$.
Вычислим корни:
$t_1 = \frac{29 + 35}{8} = 8$;
$t_2 = \frac{29 - 35}{8} = -0,75$ — данный корень не подходит, так как $t$ должно быть строго больше нуля.
Выполним обратную замену для $t = 8$:
$16^{\sin^2 x} = 8$
$(2^4)^{\sin^2 x} = 2^3$
$2^{4 \sin^2 x} = 2^3$
$4 \sin^2 x = 3$
$\sin^2 x = \frac{3}{4}$
Отсюда получаем два случая: $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решениями этих уравнений являются серии точек:
$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти четыре серии можно объединить в краткую запись: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ (или оставить в развернутом виде).

б) С помощью единичной окружности найдем корни, принадлежащие заданному отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right]$.

Указанному промежутку соответствуют следующие значения:
1) $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$;
2) $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$;
3) $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k ; \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5 \pi}{3}; \frac{7 \pi}{3}; \frac{8 \pi}{3}$.

Источник: ФИПИ