Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Прототипы квадратных, кубических и других уравнений

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $8 \cdot 16^{\sin ^{2} x} - 2 \cdot 4^{\cos 2 x} = 63$.
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы привести степени к одному основанию:
$8 \cdot 4^{2 \sin ^{2} x} - 2 \cdot 4^{1 - 2 \sin ^{2} x} = 63$
Используя свойства степеней, преобразуем второе слагаемое:
$8 \cdot 4^{2 \sin ^{2} x} - 2 \cdot \frac{4^1}{4^{2 \sin ^{2} x}} = 63$
Заметим, что $4^{2 \sin ^{2} x} = (4^2)^{\sin^2 x} = 16^{\sin^2 x}$. Уравнение примет вид:
$8 \cdot 16^{\sin ^{2} x} - \frac{8}{16^{\sin ^{2} x}} = 63$
Введем новую переменную $t = 16^{\sin ^{2} x}$, где $t > 0$. Получаем дробно-рациональное уравнение:
$8t - \frac{8}{t} = 63$
Умножим обе части на $t \neq 0$ и перенесем всё в левую часть:
$8t^2 - 63t - 8 = 0$
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
$D = (-63)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-8) = 3969 + 256 = 4225 = 65^2$
Вычислим корни:
$t_{1} = \frac{63 - 65}{16} = -\frac{2}{16} = -0,125$ (не подходит, так как $t$ должно быть больше нуля)
$t_{2} = \frac{63 + 65}{16} = \frac{128}{16} = 8$
Выполним обратную замену для $t = 8$:
$16^{\sin^2 x} = 8$
$(2^4)^{\sin^2 x} = 2^3$
$2^{4 \sin^2 x} = 2^3$
Приравниваем показатели степеней:
$4 \sin^2 x = 3 \Rightarrow \sin^2 x = \frac{3}{4}$
Отсюда получаем два случая для синуса:
$\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
1) Если $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) Если $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти решения можно объединить в запись $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, но оставим в развернутом виде.

б) Произведем отбор корней, принадлежащих промежутку $\left[\frac{7 \pi}{2} ; 5 \pi\right]$, используя единичную окружность.

На указанном отрезке находятся следующие значения:
1) $x_1 = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$
2) $x_2 = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$
3) $x_3 = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3}$

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k, \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11 \pi}{3}, \frac{13 \pi}{3}, \frac{14 \pi}{3}$

Источник: ФИПИ