Задание №3 — Комбинации фигур

Разбор задачи:
Для начала воспользуемся формулой объема шара: $V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^{3}$. По условию задачи этот объем равен 60. Из уравнения $\frac{4}{3} \pi R^{3} = 60$ выразим значение произведения $\pi R^{3}$:
$$\pi R^{3} = \frac{60 \cdot 3}{4} = 45.$$ Рассмотрим конус, вписанный в этот шар. Его объем вычисляется по стандартной формуле: $V_{конуса} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$.
Так как основание конуса проходит через центр шара (или опирается на его радиус согласно условию вписанности), площадь основания равна $S_{осн} = \pi R^{2}$, а высота конуса совпадает с радиусом шара, то есть $h = R$.
Подставим эти данные в формулу объема конуса:
$$V_{конуса} = \frac{1}{3} \cdot \pi R^{2} \cdot R = \frac{1}{3} \pi R^{3}.$$ Теперь подставим ранее найденное значение $\pi R^{3} = 45$:
$$V_{конуса} = \frac{1}{3} \cdot 45 = 15.$$

Ответ: 15

Источник: ФИПИ