Задание №14 — Логарифмические уравнения

Решение:
Рассмотрим уравнение: $\frac{\log _{2}^{2} ( \sin x ) + \log _{2} ( \sin x )}{2 \cos x + \sqrt{3}} = 0 .$

Сначала определим область допустимых значений. Дробь имеет смысл и определена, если аргумент логарифма положителен, а знаменатель не равен нулю:
$\left\{\begin{matrix} \sin x > 0 \\ 2 \cos x + \sqrt{3} \neq 0 \end{matrix}\right.$ или $\left\{\begin{matrix} \sin x > 0 \\ \cos x \neq - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.$

При соблюдении этих условий приравняем числитель к нулю:
$\log _{2}^{2} ( \sin x ) + \log _{2} ( \sin x ) = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\log _{2} ( \sin x ) \cdot ( \log _{2} ( \sin x ) + 1 ) = 0$
Отсюда получаем два возможных случая:
1) $\log _{2} ( \sin x ) = 0 \Rightarrow \sin x = 2^0 \Rightarrow \sin x = 1$
Получаем серию корней: $x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k , k \in \mathbb{Z}$.
2) $\log _{2} ( \sin x ) = - 1 \Rightarrow \sin x = 2^{-1} \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$
Это дает две серии: $x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z}$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Точка $x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n$ исключается, так как в ней $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Остальные значения удовлетворяют всем условиям. Таким образом, решениями являются: $x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k$ и $x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi n$.

б) Выполним отбор корней, принадлежащих заданному отрезку $\left[0 ; \frac{3 \pi}{2}\right]$, используя тригонометрический круг.

В указанный промежуток попадают значения: $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2 \pi k , k \in \mathbb{Z};$ $\frac{\pi}{6} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}$

Источник: ФИПИ