Задание 20

Числа и их свойства (теория чисел) · 29 заданий

Задание №20
№20Сложное
а) Можно ли представить число 2014 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 199 в ви…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Сложное
а) Можно ли представить число 2032 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 799 в ви…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Сложное
а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова? б) Можно ли представить число 599 в ви…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Лёгкое
Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общегоделителя, большего 1. а) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 50? б) Може…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Лёгкое
Восемь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1. а) Может ли сумма всех восьми чисел быть равна 65? б)…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Среднее
На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Среднее
На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 5, но не превосходит 45. Вместо некоторых чисел (возможно о…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Среднее
На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возм…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Среднее
На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно, одного)…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Сложное
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Сложное
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел…
Целые числа, делимость
Задание №20
№20Среднее
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел…
Целые числа, делимость

Задание №20 — Свойства чисел

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых трех, четырех, пяти или шести чисел является целым числом. Одно из записанных чисел равно 300322.
а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число 312?

Ваше решениедо 4 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
По условию задачи среднее арифметическое любой выбранной тройки чисел должно являться целым числом. Проверим, может ли среди чисел на доске одновременно находиться 312 и 30032.
Пусть $a_{1}$ и $a_{2}$ — два произвольных числа из набора. Рассмотрим два случая вычисления среднего арифметического:
1) $A_{1}$ — среднее арифметическое тройки, включающей число 30032:
$A_{1} = \frac{a_{1} + a_{2} + 30032}{3}$
2) $A_{2}$ — среднее арифметическое тройки, включающей число 312:
$A_{2} = \frac{a_{1} + a_{2} + 312}{3}$
Согласно условию, величины $A_{1}$ и $A_{2}$ являются целыми числами. Следовательно, их разность также обязана быть целым числом. Вычислим эту разность:
$A_{1} - A_{2} = \frac{(a_{1} + a_{2} + 30032) - (a_{1} + a_{2} + 312)}{3} = \frac{30032 - 312}{3} = \frac{29720}{3}$
Для того чтобы результат был целым, число 29720 должно делиться на 3 нацело. Однако сумма цифр числа 29720 равна $2+9+7+2+0 = 20$ , что не кратно 3. Значит, $29720$ не делится на $3$ .
Полученное противоречие доказывает, что число 312 не может находиться на доске вместе с числом 30032 при соблюдении данных условий.

Ответ: нет

Источник: ФИПИ