Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
По условию задачи среднее арифметическое любой выбранной тройки чисел должно являться целым числом. Проверим, может ли среди чисел на доске одновременно находиться 312 и 30032.
Пусть $a_{1}$ и $a_{2}$ — два произвольных числа из набора. Рассмотрим два случая вычисления среднего арифметического:
1) $A_{1}$ — среднее арифметическое тройки, включающей число 30032:
$$A_{1} = \frac{a_{1} + a_{2} + 30032}{3}$$
2) $A_{2}$ — среднее арифметическое тройки, включающей число 312:
$$A_{2} = \frac{a_{1} + a_{2} + 312}{3}$$
Согласно условию, величины $A_{1}$ и $A_{2}$ являются целыми числами. Следовательно, их разность также обязана быть целым числом. Вычислим эту разность:
$A_{1} - A_{2} = \frac{(a_{1} + a_{2} + 30032) - (a_{1} + a_{2} + 312)}{3} = \frac{30032 - 312}{3} = \frac{29720}{3}$
Для того чтобы результат был целым, число 29720 должно делиться на 3 нацело. Однако сумма цифр числа 29720 равна $2+9+7+2+0 = 20$, что не кратно 3. Значит, $29720$ не делится на $3$.
Полученное противоречие доказывает, что число 312 не может находиться на доске вместе с числом 30032 при соблюдении данных условий.

Ответ: нет

Источник: ФИПИ