Задание №15 — Рациональные неравенства

Решение:
Для начала преобразуем числитель дроби, используя метод группировки:
$x^{3} - x^{2} - x + 1 = x^{2}(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(x^{2} - 1) = (x - 1)(x - 1)(x + 1) = (x - 1)^{2}(x + 1).$
Теперь поработаем со знаменателем. Заметим в нём структуру полного квадрата:
$3^{2x^{2}} - 18 \cdot 3^{x^{2}} + 81 = (3^{x^{2}} - 9)^{2}.$
Исходное неравенство принимает вид:
$\frac{(x - 1)^{2}(x + 1)}{(3^{x^{2}} - 9)^{2}} \leq 0.$
Применим метод рационализации для выражения в знаменателе. Учитывая, что $3^{x^{2}} - 9 = 3^{x^{2}} - 3^{2}$, разность оснований и степеней даёт множители $(x^2 - 2)$. С учётом квадрата всей скобки получаем:
$\frac{(x - 1)^{2}(x + 1)}{(x^{2} - 2)^{2}} \leq 0 \Rightarrow \frac{(x - 1)^{2}(x + 1)}{(x - \sqrt{2})^{2}(x + \sqrt{2})^{2}} \leq 0.$
Решим полученное неравенство методом интервалов, учитывая кратность корней и области определения:

Анализируя знаки на промежутках, получаем решение:
$x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2}; -1] \cup \{1\}.$

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2}; -1] \cup \{1\}$

Источник: ФИПИ