Задание №18 — Многоугольники и их свойства

Решение:

а) Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Вписанные углы $ACB$ и $CAD$ опираются на равные хорды $AB$ и $CD$ соответственно. Из равенства хорд следует равенство дуг, а значит, и равенство углов: $\angle ACB = \angle CAD$. Поскольку эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$, $AD$ и секущей $AC$, то $BC \parallel AD$. Рассуждая аналогично для углов, опирающихся на равные хорды $BC$ и $DE$, получаем, что $CD \parallel BE$.
Таким образом, четырёхугольники $ABCD$ и $BCDE$ представляют собой равнобедренные трапеции, вписанные в окружность.
Из свойств равнобедренных трапеций вытекает равенство их диагоналей: $AC = BD$ и $BD = CE$, следовательно, $AC = BD = CE$.
б) Пусть $M$ — точка, в которой пересекаются отрезки $AD$ и $BE$. Так как $BC \parallel AD$ и $CD \parallel BE$, четырёхугольник $BCDM$ по определению является параллелограммом. Отсюда получаем равенства сторон:
$BM = CD = AB = 3$ и $DM = BC = DE = 4$.
Заметим, что треугольники $ABM$ и $MDE$ являются равнобедренными ($AB=BM$ и $DM=DE$). Углы при их основаниях равны: $\angle BAM = \angle AMB$ и $\angle DME = \angle DEM$. Учитывая, что $\angle AMB = \angle DME$ как вертикальные, получаем подобие треугольников $ABM$ и $MDE$ по двум углам. Коэффициент подобия равен $k = \frac{DE}{AB} = \frac{4}{3}$.
Вычислим длину отрезка $ME$:
$ME = \frac{DE}{AB} \cdot AM = \frac{4}{3} \cdot (AD - DM) = \frac{4}{3} \cdot (6 - 4) = \frac{8}{3}$.
Тогда искомая длина диагонали $BE$ складывается из длин отрезков $BM$ и $ME$:
$BE = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$.

Критерии оценивания:
3 балла — представлено полное верное доказательство пункта а) и найден верный ответ в пункте б).
2 балла — верно решён пункт б), либо пункт а) доказан, но в пункте б) допущена вычислительная ошибка.
1 балл — доказан только пункт а), либо пункт б) решён верно с опорой на пункт а) (без его доказательства), либо в пункте б) допущена арифметика при верном ходе решения.
0 баллов — решение не подходит под описание выше.

Ответ: б) $\frac{17}{3}$

Источник: ФИПИ