Решение:

а) Рассмотрим треугольник $ANB$. Отрезки $AN$ и $BN$ являются высотами в равных правильных треугольниках, следовательно, $AN = BN = \frac{\sqrt{3}}{2} CD$. Так как $AN = BN$, треугольник $ANB$ — равнобедренный. Его медиана $NM$, проведенная к основанию $AB$, одновременно является и высотой, то есть $NM \perp AB$. Проведя аналогичные рассуждения для треугольника $CMD$, получим, что прямая $MN$ также перпендикулярна ребру $CD$.
б) Пусть плоскость $\alpha$ перпендикулярна отрезку $MN$. Так как $MN$ перпендикулярна обеим прямым $AB$ и $CD$, то эти прямые будут параллельны плоскости $\alpha$.
Пусть точки $L, P$ и $Q$ — это точки, в которых плоскость $\alpha$ пересекает ребра $AC, AD$ и $BD$ соответственно. В сечении образуется четырехугольник $KLPQ$. Его стороны $KL$ и $PQ$ параллельны прямой $AB$, а стороны $KQ$ и $LP$ параллельны прямой $CD$. Поскольку скрещивающиеся ребра $AB$ и $CD$ перпендикулярны друг другу, то и смежные стороны сечения перпендикулярны. Значит, $KLPQ$ — прямоугольник.
Заметим, что треугольники $KCL$ и $KBQ$ подобны исходным граням и являются равносторонними. Отсюда находим длины сторон прямоугольника: $KL = KC = 3$ и $QK = BK = 1$. Тогда искомая площадь сечения вычисляется как произведение его измерений: $S = KL \cdot KQ = 3 \cdot 1 = 3$.

Критерии оценивания:
3 балла — полностью верное доказательство пункта а) и обоснованный правильный ответ в пункте б).
2 балла — верно решен пункт б), ЛИБО доказан пункт а) и при верном ходе решения пункта б) допущена вычислительная ошибка.
1 балл — доказан только пункт а), ЛИБО пункт б) решен с арифметической ошибкой, ЛИБО пункт б) решен верно с опорой на пункт а), который не был доказан.
0 баллов — решение не удовлетворяет ни одному из указанных требований.

Ответ: б) 3

Источник: ФИПИ