Стереометрия (с доказательством) · 57 заданий
- Задание №15№15Среднее
В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ точка K - середина ребра B₁ C₁. Плоскость α проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является…
Многогранники
- Задание №15№15Среднее
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ точка K – середина ребра A₁ B₁. Плоскость α проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призм…
Многогранники
- Задание №15№15Лёгкое
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁ B₁ соответственно. Известно, что AM = 3 MA₁, A₁ K = KB₁. Через точ…
Многогранники
- Задание №15№15Лёгкое
В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ точка K - середина ребра B₁ C₁. Плоскость α проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является…
Многогранники
- Задание №15№15Среднее
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ точка K – середина ребра A₁ B₁. Плоскость α проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призм…
Многогранники
- Задание №15№15Лёгкое
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого сеч…
Тела вращения
- Задание №15№15Сложное
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка M - середина ребра AB. Плоскость α, перпен…
Многогранники
- Задание №15№15Сложное
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N - середины боковых стор…
Многогранники
- Задание №15№15Сложное
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ плоскостью α, содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC является ромб. а) Докажите, что г…
Многогранники
- Задание №15№15Сложное
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC, равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на ребрах SD и BC соответственно…
Многогранники
- Задание №15№15Лёгкое
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, и C, а на окружности другог…
Тела вращения
- Задание №15№15Сложное
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O - центр основания пирамиды, точка M - середина ребра SC, точка K делит ребро BC…
Многогранники
В правильном тетраэдре ABCD точки M и N - середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK=1, KC=3.
Решение
Решение:
а) Рассмотрим треугольник ANB. Отрезки AN и BN являются высотами в равных правильных треугольниках, следовательно, AN=BN=23CD. Так как AN=BN, треугольник ANB — равнобедренный. Его медиана NM, проведенная к основанию AB, одновременно является и высотой, то есть NM⊥AB. Проведя аналогичные рассуждения для треугольника CMD, получим, что прямая MN также перпендикулярна ребру CD.
б) Пусть плоскость α перпендикулярна отрезку MN. Так как MN перпендикулярна обеим прямым AB и CD, то эти прямые будут параллельны плоскости α.
Пусть точки L,P и Q — это точки, в которых плоскость α пересекает ребра AC,AD и BD соответственно. В сечении образуется четырехугольник KLPQ. Его стороны KL и PQ параллельны прямой AB, а стороны KQ и LP параллельны прямой CD. Поскольку скрещивающиеся ребра AB и CD перпендикулярны друг другу, то и смежные стороны сечения перпендикулярны. Значит, KLPQ — прямоугольник.
Заметим, что треугольники KCL и KBQ подобны исходным граням и являются равносторонними. Отсюда находим длины сторон прямоугольника: KL=KC=3 и QK=BK=1. Тогда искомая площадь сечения вычисляется как произведение его измерений: S=KL⋅KQ=3⋅1=3.
Критерии оценивания:
3 балла — полностью верное доказательство пункта а) и обоснованный правильный ответ в пункте б).
2 балла — верно решен пункт б), ЛИБО доказан пункт а) и при верном ходе решения пункта б) допущена вычислительная ошибка.
1 балл — доказан только пункт а), ЛИБО пункт б) решен с арифметической ошибкой, ЛИБО пункт б) решен верно с опорой на пункт а), который не был доказан.
0 баллов — решение не удовлетворяет ни одному из указанных требований.
Ответ: б) 3
Источник: ФИПИ