Решение:
а) Преобразуем исходное уравнение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:
$2 \sin x \cdot ( 1 - \cos ^{2} x ) - \sqrt{2} \cos ^{2} x - 2 \sin x = 0$
Раскроем скобки в левой части выражения:
$2 \sin x - 2 \sin x \cos ^{2} x - \sqrt{2} \cos ^{2} x - 2 \sin x = 0$
Приведя подобные слагаемые, получаем:
$- 2 \sin x \cos ^{2} x - \sqrt{2} \cos ^{2} x = 0$
Умножим на $-1$ и вынесем общий множитель $\cos^2 x$ за скобки:
$\cos ^{2} x \cdot ( 2 \sin x + \sqrt{2} ) = 0$
Данное уравнение распадается на два случая:
1) $\cos x = 0$, откуда следует решение $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$;
2) $\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$, что дает две серии корней: $x = - \frac{\pi}{4} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $x = - \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

б) Выполним отбор корней на заданном промежутке $\left[- 4 \pi ; - \frac{5 \pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрического круга.

Указанному отрезку соответствуют следующие значения:
$x_1 = -4\pi + \frac{\pi}{2} = - \frac{7 \pi}{2}$;
$x_2 = -2\pi - \frac{3\pi}{4} = - \frac{11 \pi}{4}$;
$x_3 = - \frac{5 \pi}{2}$.

Критерии оценивания:
2 балла — за верное и обоснованное решение обоих пунктов.
1 балл — если верно выполнен только пункт а), либо если допущена одна арифметическая ошибка, не нарушающая логику решения в обоих пунктах.
0 баллов — в остальных случаях, не подходящих под описание выше.

Ответ:
а) $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$
б) $- \frac{7 \pi}{2}; - \frac{11 \pi}{4}; - \frac{5 \pi}{2}$

Источник: ФИПИ