Задание №19 — Системы с параметром

Решение:
Выполним подстановку выражения для $y$ из второго уравнения в первое. Получим следующее уравнение относительно $x$:
$(x - 3)(4x + a - 9) = |x - 3|^3.$
Данное уравнение, содержащее модуль, можно представить в виде совокупности двух систем в зависимости от знака выражения под модулем:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} (x - 3)(4x + a - 9 - (x - 3)^2) = 0 \\ x \geq 3 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} (x - 3)(4x + a - 9 + (x - 3)^2) = 0 \\ x < 3 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых внутри систем, получаем:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} (x - 3)(x^2 - 10x + 18 - a) = 0 \\ x \geq 3 \end{matrix}\right. \quad (1) \\ \left\{\begin{matrix} (x - 3)(x^2 - 2x + a) = 0 \\ x < 3 \end{matrix}\right. \quad (2) \end{matrix}\right.$
Для того чтобы исходная система имела ровно четыре различных решения, необходимо рассмотреть два возможных сценария распределения корней между этими системами.
Сценарий 1: Система (1) дает три различных корня, а система (2) — ровно один.
Сценарий 2: Система (1) дает два различных корня, и система (2) также дает два различных корня.
Проанализируем каждый вариант.
Разбор сценария 1.
В системе (1) значение $x = 3$ уже является корнем. Чтобы всего корней в (1) было три, квадратный трехчлен $f(x) = x^2 - 10x + 18 - a$ должен иметь два различных корня, причем оба должны быть строго больше 3. Это обеспечивается условиями:
$\left\{\begin{matrix} D = 4(7 + a) > 0 \\ x_{верш} = 5 > 3 \\ f(3) = 9 - 30 + 18 - a > 0 \end{matrix}\right.$
Решая данную систему неравенств, находим интервал: $a \in (-7; -3)$.
Теперь определим, когда система (2) имеет ровно один корень. Заметим, что $x = 3$ не входит в область определения системы (2) ($x < 3$). Значит, единственный корень должен давать трехчлен $g(x) = x^2 - 2x + a$.
а) Уравнение $x^2 - 2x + a = 0$ имеет единственный корень (дискриминант равен нулю), и он меньше 3:
$\left\{\begin{matrix} D = 4(1 - a) = 0 \\ x_{верш} = 1 < 3 \end{matrix}\right.$
Отсюда получаем $a = 1$.
б) Уравнение $x^2 - 2x + a = 0$ имеет два корня, но только один из них меньше 3 (второй либо равен 3, либо больше 3). Это условие выполняется, если $g(3) \leq 0$:
$3^2 - 2 \cdot 3 + a \leq 0 \Rightarrow a \leq -3$.
Объединяя результаты для системы (2), имеем $a \in (-\infty; -3] \cup \{1\}$. Пересекая это с условием для системы (1) $a \in (-7; -3)$, получаем искомый интервал: $a \in (-7; -3)$.
Разбор сценария 2.
Система (1) будет иметь два решения, если $x = 3$ — первый корень, а уравнение $x^2 - 10x + 18 - a = 0$ дает ровно один корень больше 3. Это происходит либо при $D = 0$ (корень $x = 5 > 3$), либо когда один корень меньше или равен 3, а второй больше 3. Учитывая положение вершины $x_{верш} = 5$, больший корень всегда будет больше 3, если корни существуют. Таким образом, условие сводится к $a = -7$ или $f(3) \leq 0$, что дает $a \in \{-7\} \cup [-3; +\infty)$.
Система (2) имеет два решения, если уравнение $x^2 - 2x + a = 0$ обладает двумя корнями, оба из которых меньше 3. Так как вершина $x_{верш} = 1$ уже меньше 3, достаточно условий:
$\left\{\begin{matrix} D = 4(1 - a) > 0 \\ g(3) > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a < 1 \\ a > -3 \end{matrix}\right.$
То есть $a \in (-3; 1)$.
Находя пересечение условий $a \in \{-7\} \cup [-3; +\infty)$ и $a \in (-3; 1)$, получаем интервал $a \in (-3; 1)$.
Объединив результаты обоих сценариев, находим итоговые значения параметра.
Ответ: $a \in ( - 7 ; - 3 ) \cup ( - 3 ; 1 )$

Источник: ФИПИ