Решение:
Для начала установим область определения функции. Логарифм существует только при положительном значении аргумента, следовательно, $x - 9 > 0$, то есть $x > 9$. Таким образом, мы работаем на интервале $(9; +\infty)$.
Найдем производную заданной функции:
$$f'(x) = ( \ln(x - 9) - 10x + 7 )' = \frac{1}{x - 9} - 10.$$
Для поиска критических точек приравняем полученную производную к нулю:
$\frac{1}{x - 9} - 10 = 0$;
$\frac{1}{x - 9} = 10$;
$10(x - 9) = 1$;
$10x - 90 = 1$;
$10x = 91$;
$x = 9{,}1.$
Полученное значение $x = 9{,}1$ входит в область определения и является единственным нулем производной. Проанализируем поведение функции, определив знаки $f'(x)$ на промежутках:
— если $9 < x < 9{,}1$, то производная положительна ($f'(x) > 0$), и функция возрастает;
— если $x > 9{,}1$, то производная отрицательна ($f'(x) < 0$), и функция убывает.
Так как при переходе через точку $x = 9{,}1$ знак производной меняется с плюса на минус, данная точка является точкой максимума.

Ответ: 9,1

Источник: ФИПИ